1{ }^{a} Questāo. Calcule as derivadas das funções e simplifique as respostas.
f(x)=64 x+\frac{10}{3} x^{2}-\frac{2}{9} x^{3}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função e simplificar o resultado. A função dada é
f(x)=64 x+\frac{10}{3} x^{2}-\frac{2}{9} x^{3}.
Informações relevantes dadas: os coeficientes e as potências de cada termo da função polinomial acima. A tarefa é derivar termo a termo e apresentar uma forma simplificada.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática): a regra do poder (power rule) para derivadas.
\text{Se }g(x)=x^{n}\text{ com }n\in\mathbb{R},\text{ então }g'(x)=n x^{n-1}.ã
  • O que isso significa: para derivar uma potência, você multiplica pelo expoente e diminui o expoente em 1.
  • Se a função tiver uma constante multiplicando a potência, por exemplo \,c\cdot x^{n}, a derivada é \,c\cdot n x^{n-1} (a constante sai como fator).
    Exemplo rápido para fixar: a derivada de \,5x^{3} é \,5\cdot 3 x^{2}=15x^{2}.

Passo 3

Derivando o primeiro termo \,64x.
Aplicando a regra: \,x é x^{1}, então
\frac{d}{dx}\big(64x\big)=64\cdot 1\cdot x^{0}=64.
Explicação: multiplicamos por 1 e ficamos com x^{0}=1, então sobra apenas 64.

Passo 4

Derivando o segundo termo \,\frac{10}{3}x^{2}.
Usando a regra com constante multiplicativa:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{10}{3}x^{2}\right)=\frac{10}{3}\cdot 2 x^{1}=\frac{20}{3}x.
Explicação: multiplicamos o coeficiente \frac{10}{3} por 2 (o expoente) e reduzimos o expoente para 1.

Passo 5

Derivando o terceiro termo \,-\frac{2}{9}x^{3}.
Aplicando a regra:
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{2}{9}x^{3}\right)=-\frac{2}{9}\cdot 3 x^{2}=-\frac{6}{9}x^{2}.
Agora simplificamos a fração -\frac{6}{9}. Dividindo numerador e denominador por 3 obtemos
-\frac{6}{9}=-\frac{2}{3},
logo a derivada do terceiro termo é -\frac{2}{3}x^{2}.

Passo 6

Colocando tudo junto: somamos as derivadas dos termos (derivada é linear):
f'(x)=64+\frac{20}{3}x-\frac{2}{3}x^{2}.
Podemos também escrever em ordem de potências decrescentes:
f'(x)=-\frac{2}{3}x^{2}+\frac{20}{3}x+64.
Se quiser uma forma com fator comum, notamos que \frac{2}{3} é fator comum:
f'(x)=\frac{2}{3}\big(96+10x-x^{2}\big).
Ambas as formas acima são equivalentes; a primeira é frequentemente a mais direta numa prova.

Resposta

f'(x)=64+\frac{20}{3}x-\frac{2}{3}x^{2}

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