Questāo. Calcule as derivadas das funções e simplifique as respostas.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função e simplificar o resultado. A função dada é
Informações relevantes dadas: os coeficientes e as potências de cada termo da função polinomial acima. A tarefa é derivar termo a termo e apresentar uma forma simplificada.
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática): a regra do poder (power rule) para derivadas.
- O que isso significa: para derivar uma potência, você multiplica pelo expoente e diminui o expoente em 1.
- Se a função tiver uma constante multiplicando a potência, por exemplo
, a derivada é (a constante sai como fator).
Exemplo rápido para fixar: a derivada deé .
Passo 3
Derivando o primeiro termo
.
Aplicando a regra: é
, então
Aplicando a regra:
Explicação: multiplicamos por
e ficamos com
, então sobra apenas
.
Passo 4
Derivando o segundo termo
.
Usando a regra com constante multiplicativa:
Usando a regra com constante multiplicativa:
Explicação: multiplicamos o coeficiente
por
(o expoente) e reduzimos o expoente para
.
Passo 5
Derivando o terceiro termo
.
Aplicando a regra:
Aplicando a regra:
Agora simplificamos a fração
. Dividindo numerador e denominador por
obtemos
logo a derivada do terceiro termo é
.
Passo 6
Colocando tudo junto: somamos as derivadas dos termos (derivada é linear):
Podemos também escrever em ordem de potências decrescentes:
Se quiser uma forma com fator comum, notamos que
é fator comum:
Ambas as formas acima são equivalentes; a primeira é frequentemente a mais direta numa prova.