Questão 2. Calcule as derivadas das seguintes funções.
(1.5) f(x)=\ln \left(x^{2} \operatorname{sen}(3 x)\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl(x^{2}\,\sin(3x)\bigr).
Aqui vamos usar duas ideias:
  1. Separar o logaritmo de um produto em soma de logaritmos.
  2. Aplicar a regra da cadeia e a derivada de \ln(u), que é u'/u.

Passo 2

Usando \ln(a b)=\ln(a)+\ln(b), escrevemos
f(x)=\ln\bigl(x^{2}\bigr)+\ln\bigl(\sin(3x)\bigr).

Passo 3

Derivando \ln(x^{2}) por x\neq0:
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x^{2})\bigr] =\frac{(x^{2})'}{x^{2}} =\frac{2x}{x^{2}} =\frac{2}{x}.

Passo 4

Derivando \ln\bigl(\sin(3x)\bigr) pela regra da cadeia:
  1. A derivada de \sin(3x) é 3\cos(3x).
  2. Logo
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(\sin(3x))\bigr] =\frac{3\cos(3x)}{\sin(3x)} =3\cot(3x).

Passo 5

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x)=\frac{2}{x}+3\cot(3x).

Resposta

f'(x)=\frac{2}{x}+3\cot(3x).

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