Questão 2. Calcule as derivadas das seguintes funções.
(\mathbf{1 . 0}) g(x)=\frac{1-x}{e^{2 x}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(x)=\frac{1-x}{e^{2x}}. O conteúdo envolve derivadas de funções exponenciais e a regra do produto (ao reescrever como produto com exponencial negativa), além da regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevendo em termos de exponencial negativa, temos
g(x)=\frac{1-x}{e^{2x}}=(1-x)\,e^{-2x}.

Passo 3

Definimos
u(x)=1-x,\quad v(x)=e^{-2x}.
Então
u'(x)=-1
e, aplicando a regra da cadeia em v(x),
v'(x)=-2\,e^{-2x}.

Passo 4

Pela regra do produto,
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 5

Substituindo u', v e v':
g'(x)=(-1)\,e^{-2x}+(1-x)\bigl(-2\,e^{-2x}\bigr) =\bigl(-1-2(1-x)\bigr)e^{-2x}.
O coeficiente entre parênteses simplifica-se assim:
-1-2(1-x)=-1-2+2x=2x-3.
Portanto,
g'(x)=(2x-3)e^{-2x}.

Resposta

g'(x)=(2x-3)e^{-2x}.

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