Questão 1. Calcule os seguintes limites
(1.5) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1-x}{\sqrt{x^{2}-6 x+9}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{1-x}{\sqrt{x^{2}-6x+9}}.
O conteúdo é limite no infinito de função que envolve raiz quadrada; para resolver vamos usar fatoração de x^2 dentro da raiz e a propriedade do valor absoluto.

Passo 2

Fatoramos x^2 dentro da raiz:
\sqrt{x^{2}-6x+9} =|x|\sqrt{1-\tfrac{6}{x}+\tfrac{9}{x^{2}}}.

Passo 3

Como x\to -\infty, temos |x|=-x. Portanto
\frac{1-x}{\sqrt{x^{2}-6x+9}} = \frac{1-x}{-x\,\sqrt{1-\tfrac{6}{x}+\tfrac{9}{x^{2}}}}.

Passo 4

Dividimos numerador e denominador por -x:
\frac{1-x}{-x} = 1 - \frac{1}{x},
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\frac{1-x}{\sqrt{x^{2}-6x+9}} = \frac{1-\tfrac{1}{x}}{\sqrt{1-\tfrac{6}{x}+\tfrac{9}{x^{2}}}}.

Passo 5

Ao fazermos x\to -\infty, os termos \tfrac{1}{x}, \tfrac{6}{x} e \tfrac{9}{x^{2}} vão a zero. Assim a expressão tende a
\frac{1-0}{\sqrt{1-0+0}} = 1.

Resposta

1

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