Por que expandir o determinante e por onde começar? Aqui eu vou explicar a ideia sem avançar na conta ainda: ao calcular um determinante por expansão de Laplace (expansão por cofatores), é vantajoso escolher uma linha ou coluna com muitos zeros, porque cada elemento zero anula um termo da expansão e simplifica as contas. Na matriz A a quarta linha tem três zeros, então é uma excelente escolha para a expansão. A fórmula de expansão por cofatores para a linha i é
onde a_{ij} é o elemento na linha i, coluna j e M_{ij} é a matriz obtida de A removendo a linha i e a coluna j.
Passo 3
Aplicando a expansão de Laplace pela quarta linha (i=4). A quarta linha de A é (3,0,0,0). Então só o primeiro termo contribui; os outros três são multiplicados por zero. Pelo que foi explicado:
Observe que peguei os coeficientes diretamente da matriz A.
Passo 4
Agora precisamos calcular \det(M_{41}). Vou lembrar uma fórmula prática: para uma matriz 3\times3
\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{array}\right),
uma forma direta (expansão pela primeira linha) é
\det = a\det\!\left(\begin{array}{cc} e & f \\\ h & i \end{array}\right) - b\det\!\left(\begin{array}{cc} d & f \\\ g & i \end{array}\right) + c\det\!\left(\begin{array}{cc} d & e \\\ g & h \end{array}\right).
E lembrar também que o determinante de 2\times2 é
\det\!\left(\begin{array}{cc} p & q \\\ r & s \end{array}\right) = ps-qr.
Passo 5
Aplicando a fórmula do passo anterior à matriz M_{41}. Identificando a=2, b=-1, c=3, d=1, e=2, f=4, g=1, h=0, i=2, obtemos
Voltando à relação do passo 3, tínhamos \det(A) = -3\det(M_{41}). Como \det(M_{41})=0, conclui-se que \det(A) = -3\cdot 0 = 0. Resultado final: o determinante é zero — ou seja, a matriz é singular (as linhas são linearmente dependentes). Força aí, você já tem o cálculo completo e bem passo a passo!