Questão 6: Calcule o determinante da matriz
A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ -1 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz A. Dados fornecidos — a matriz A é
A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 & 4 \\\\ -1 & 1 & 0 & 2 \\\\ 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).

Passo 2

Por que expandir o determinante e por onde começar? Aqui eu vou explicar a ideia sem avançar na conta ainda: ao calcular um determinante por expansão de Laplace (expansão por cofatores), é vantajoso escolher uma linha ou coluna com muitos zeros, porque cada elemento zero anula um termo da expansão e simplifica as contas. Na matriz A a quarta linha tem três zeros, então é uma excelente escolha para a expansão. A fórmula de expansão por cofatores para a linha i é
\det(A)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(M_{ij}),
onde a_{ij} é o elemento na linha i, coluna j e M_{ij} é a matriz obtida de A removendo a linha i e a coluna j.

Passo 3

Aplicando a expansão de Laplace pela quarta linha ( i=4). A quarta linha de A é (3,0,0,0). Então só o primeiro termo contribui; os outros três são multiplicados por zero. Pelo que foi explicado:
\det(A)=(-1)^{4+1}\,a_{41}\,\det(M_{41}) = (-1)^5\cdot 3\cdot\det(M_{41}) = -3\det(M_{41}).
Aqui M_{41} é a matriz 3\times3 obtida removendo a linha 4 e a coluna 1 de A. Explicitamente, retirando a quarta linha e a primeira coluna de A fica
M_{41}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\\\ 1 & 2 & 4 \\\\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right).
Observe que peguei os coeficientes diretamente da matriz A.

Passo 4

Agora precisamos calcular \det(M_{41}). Vou lembrar uma fórmula prática: para uma matriz 3\times3
\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{array}\right),
uma forma direta (expansão pela primeira linha) é
\det = a\det\!\left(\begin{array}{cc} e & f \\\ h & i \end{array}\right) - b\det\!\left(\begin{array}{cc} d & f \\\ g & i \end{array}\right) + c\det\!\left(\begin{array}{cc} d & e \\\ g & h \end{array}\right).
E lembrar também que o determinante de 2\times2 é
\det\!\left(\begin{array}{cc} p & q \\\ r & s \end{array}\right) = ps-qr.

Passo 5

Aplicando a fórmula do passo anterior à matriz M_{41}. Identificando a=2, b=-1, c=3, d=1, e=2, f=4, g=1, h=0, i=2, obtemos
\det(M_{41}) = 2\det\!\left(\begin{array}{cc}2 & 4 \\[2pt] 0 & 2\end{array}\right) -(-1)\det\!\left(\begin{array}{cc}1 & 4 \\[2pt] 1 & 2\end{array}\right) +3\det\!\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\[2pt] 1 & 0\end{array}\right).
Calcule agora cada determinante 2\times2:
\det\!\left(\begin{array}{cc}2 & 4 \\[2pt] 0 & 2\end{array}\right) = 2\cdot2 - 4\cdot0 = 4,
\det\!\left(\begin{array}{cc}1 & 4 \\[2pt] 1 & 2\end{array}\right) = 1\cdot2 - 4\cdot1 = 2-4 = -2,
\det\!\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\[2pt] 1 & 0\end{array}\right) = 1\cdot0 - 2\cdot1 = -2.]

Passo 6

Substituindo esses resultados em \det(M_{41}):
\det(M_{41}) = 2\cdot 4 -(-1)\cdot(-2) + 3\cdot(-2).
Agora faça as operações passo a passo:
2\cdot 4 = 8,
-(-1)\cdot(-2) = -\big((-1)\cdot(-2)\big) = -(2) = -2,
3\cdot(-2) = -6.
Somando: 8 + (-2) + (-6) = 8-2-6 = 0. Logo \det(M_{41})=0.

Passo 7

Voltando à relação do passo 3, tínhamos \det(A) = -3\det(M_{41}). Como \det(M_{41})=0, conclui-se que \det(A) = -3\cdot 0 = 0. Resultado final: o determinante é zero — ou seja, a matriz é singular (as linhas são linearmente dependentes). Força aí, você já tem o cálculo completo e bem passo a passo!

Resposta

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