A=\left(\begin{array}{ccc} a & -a & b \\\ a & a & 0 \\\\ 0 & b & -1 \end{array}\right)
calcule os valores de a e b para que a matriz A seja ortogonal.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} a & -a & b \\\ a & a & 0 \\\\ 0 & b & -1 \end{array}\right)
e pede para calcular os valores de a e b para que A seja ortogonal. Informações relevantes que temos:
\text{Dado: }A\text{ como acima.}
\text{Pedido: determinar }a\text{ e }b\text{ tais que }A\text{ seja ortogonal.}
Passo 2
Definição e estratégia (aula rapidinha e prática): uma matriz quadrada A é ortogonal quando
A^{T}A=I,
onde A^{T} é a transposta de A e I é a matriz identidade. Uma forma intuitiva e muito útil de usar isso é olhar para as colunas de A: A é ortogonal se, e somente se, as colunas de A forem vetores ortonormais (isto é, cada coluna tem norma 1 e colunas diferentes são ortogonais entre si). O produto interno (ou “produto escalar”) entre dois vetores u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3) em \mathbb{R}^3 é
u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Então vamos extrair as colunas de A, exigir que cada coluna tenha norma 1 e que produtos internos entre colunas diferentes sejam 0. Isso gera equações em a e b.
Passo 3
Escrevendo explicitamente as colunas da matriz A (peguei os dados da matriz dada no enunciado):
Vamos impor as condições de ortonormalidade: para i=1,2,3 deve valer c_i\cdot c_i=1 (norma 1) e para i\neq j deve valer c_i\cdot c_j=0 (ortogonalidade).]
Com b=0 isso vale 0. Assim todas as condições de ortogonalidade são satisfeitas com b=0 e a=\pm 1/\sqrt{2}.
Passo 8
Conclusão e interpretação rápida: as equações impostas pela ortonormalidade das colunas levaram a 2a^2=1 e b=0. A única liberdade é o sinal de a, que aparece porque norma envolve a^2. Ambas as escolhas de sinal geram matrizes ortogonais (lembrando que matrizes ortogonais podem ter determinante +1 ou -1; aqui o sinal de a muda possivelmente o determinante, mas ambas são ortogonais).