Questão 4: Dada a matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} a & -a & b \\\ a & a & 0 \\\\ 0 & b & -1 \end{array}\right)
calcule os valores de a e b para que a matriz A seja ortogonal.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} a & -a & b \\\ a & a & 0 \\\\ 0 & b & -1 \end{array}\right)
e pede para calcular os valores de a e b para que A seja ortogonal. Informações relevantes que temos:
\text{Dado: }A\text{ como acima.}
\text{Pedido: determinar }a\text{ e }b\text{ tais que }A\text{ seja ortogonal.}

Passo 2

Definição e estratégia (aula rapidinha e prática): uma matriz quadrada A é ortogonal quando
A^{T}A=I,
onde A^{T} é a transposta de A e I é a matriz identidade. Uma forma intuitiva e muito útil de usar isso é olhar para as colunas de A: A é ortogonal se, e somente se, as colunas de A forem vetores ortonormais (isto é, cada coluna tem norma 1 e colunas diferentes são ortogonais entre si). O produto interno (ou “produto escalar”) entre dois vetores u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3) em \mathbb{R}^3 é
u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Então vamos extrair as colunas de A, exigir que cada coluna tenha norma 1 e que produtos internos entre colunas diferentes sejam 0. Isso gera equações em a e b.

Passo 3

Escrevendo explicitamente as colunas da matriz A (peguei os dados da matriz dada no enunciado):
c_1=\begin{pmatrix}a\\[4pt]a\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}-a\\[4pt]a\\[4pt]b\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}b\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Vamos impor as condições de ortonormalidade: para i=1,2,3 deve valer c_i\cdot c_i=1 (norma 1) e para i\neq j deve valer c_i\cdot c_j=0 (ortogonalidade).]

Passo 4

Norma da primeira coluna: calcular c_1\cdot c_1.
c_1\cdot c_1 = a^2 + a^2 + 0^2 = 2a^2.
Como queremos norma 1, temos
2a^2 = 1.
Resolvendo para a:
a^2=\tfrac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad a=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.
Expliquei: tirar raiz de ambos os lados dá duas possibilidades de sinal porque (-x)^2=x^2.

Passo 5

Norma da segunda coluna: calcular c_2\cdot c_2.
c_2\cdot c_2 = (-a)^2 + a^2 + b^2 = a^2 + a^2 + b^2 = 2a^2 + b^2.
Queremos c_2\cdot c_2=1. Substituindo 2a^2=1 (do passo anterior) obtemos
1 + b^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad b^2 = 0.
Logo
b=0.

Passo 6

Norma da terceira coluna: checagem (consistência). Calcular c_3\cdot c_3.
c_3\cdot c_3 = b^2 + 0^2 + (-1)^2 = b^2 + 1.
Como b^2=0, isso vale 0+1=1, ou seja, a terceira coluna também tem norma 1. Boa.

Passo 7

Checar ortogonalidade entre colunas distintas (produtos internos cruzados) para garantir nenhuma condição extra aparece.
Calcular c_1\cdot c_2:
c_1\cdot c_2 = a(-a) + a(a) + 0\cdot b = -a^2 + a^2 + 0 = 0.
Portanto c_1 é ortogonal a c_2 automaticamente (independente de b).
Calcular c_1\cdot c_3:
c_1\cdot c_3 = a\cdot b + a\cdot 0 + 0\cdot(-1) = ab.
Com b=0 obtemos ab=0, então c_1 é ortogonal a c_3.
Calcular c_2\cdot c_3:
c_2\cdot c_3 = (-a)\,b + a\cdot 0 + b(-1) = -ab - b = -b(a+1).
Com b=0 isso vale 0. Assim todas as condições de ortogonalidade são satisfeitas com b=0 e a=\pm 1/\sqrt{2}.

Passo 8

Conclusão e interpretação rápida: as equações impostas pela ortonormalidade das colunas levaram a 2a^2=1 e b=0. A única liberdade é o sinal de a, que aparece porque norma envolve a^2. Ambas as escolhas de sinal geram matrizes ortogonais (lembrando que matrizes ortogonais podem ter determinante +1 ou -1; aqui o sinal de a muda possivelmente o determinante, mas ambas são ortogonais).

Resposta

a=\dfrac{1}{\sqrt{2}},\; b=0
a=-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\; b=0

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