Questão 9
Calcule os determinantes abaixo:
a) \left|\begin{array}{cc}10+j 6 & 2-J 3 \\\\ -5 & -1+j\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 2×2 cujos elementos são números complexos. Os dados fornecidos são:
  • A matriz é \begin{pmatrix}10 + j6 & 2 - j3 \\[4pt] -5 & -1 + j \end{pmatrix}.
  • A tarefa: calcular o determinante dessa matriz.]

Passo 2

Fórmula do determinante de uma matriz 2\times2. Para uma matriz
\begin{pmatrix} a & b\\[4pt] c & d \end{pmatrix}
o determinante é
\det = ad - bc.
Aqui vamos aplicar essa fórmula com os elementos complexos a=10 + j6, b=2 - j3, c=-5, d=-1 + j.]

Passo 3

Regra para multiplicar números complexos (lembrete didático). Se tivermos dois complexos x=a+j b e y=c+j d, o produto é
xy=(ac-bd)+j(ad+bc),
porque j^2=-1. Vamos usar essa fórmula para calcular a\cdot d=(10+j6)\cdot(-1+j).

Passo 4

Calcular o produto da diagonal principal (10+j6)\cdot(-1+j) passo a passo usando a fórmula:
  • Identificar a=10, b=6, c=-1, d=1.
  • Produto real: ac-bd = 10\cdot(-1) - 6\cdot1 = -10 - 6 = -16.
  • Produto imaginário (coeficiente de j): ad+bc = 10\cdot1 + 6\cdot(-1) = 10 - 6 = 4.
    Portanto
(10+j6)(-1+j) = -16 + j4.

Passo 5

Calcular o produto da outra diagonal b\cdot c = (2 - j3)\cdot(-5). Aqui um fator é real, então:
(2 - j3)(-5) = 2\cdot(-5) + (-j3)\cdot(-5) = -10 + j15.
(Explicação: multiplicar por -5 troca o sinal do real e do imaginário; -j3\cdot -5 = +j15.)

Passo 6

Agora aplicar a fórmula do determinante \det = ad - bc com os resultados:
\det = (-16 + j4) - (-10 + j15).
Fazendo a subtração separando partes real e imaginária:
  • Parte real: -16 - (-10) = -16 + 10 = -6.
  • Parte imaginária: 4 - 15 = -11.
    Logo
\det = -6 - j11.

Resposta

-6 - j11

Exercícios relacionados