Questão 5
Determine os fasores correspondentes aos seguintes sinais
b) i(t)=-8 \operatorname{sen}\left(10 t+70^{\circ}\right) \mathrm{mA}
c) v(t)=120 \operatorname{sen}\left(10 t-50^{\circ}\right) \mathrm{V}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede: determinar os fasores correspondentes aos sinais dados nas alíneas (b) e (c).
  • Dados:
    • (b) \displaystyle i(t) = -8\sin\bigl(10\,t + 70^\circ\bigr)\\ \mathrm{mA}.
    • (c) \displaystyle v(t) = 120\sin\bigl(10\,t - 50^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}.

Passo 2

O que é um fasor (explicação didática e intuitiva).
  • Um fasor é uma forma compacta de representar uma senoide por sua amplitude e sua fase, ignorando a dependência explícita do tempo \sin(\omega t+\varphi). Em vez de escrever a função no tempo, escreve-se um número complexo no plano (forma polar), por exemplo \tilde{X}=A\angle\varphi.
  • Existem duas convenções comuns:
    1. fasor de amplitude (ou fasor de pico): associa à senoide A\sin(\omega t+\varphi) o fasor \tilde{X}=A\angle\varphi (usando referência a senoide);
    2. fasor em valor eficaz (RMS): associa o fasor \tilde{X}_{\mathrm{rms}}=\dfrac{A}{\sqrt{2}}\angle\varphi.
  • Em muitos exercícios de circuito é suficiente dar o fasor de pico (A\angle\varphi); em outros, pedem o fasor em RMS. Vou dar ambos (pico e RMS) para ficar completo e didático.
  • Observações sobre sinais negativos e mudança de fase:
    • Multiplicar por -1 equivale a adicionar 180^\circ à fase, pois -\sin(\theta)=\sin(\theta+180^\circ).
    • Também é útil saber que \sin(\theta)=\cos(\theta-90^\circ) se alguém usa referência em cosseno. Neste exercício seguimos a referência direta em seno (já que os sinais vêm em \sin).

Passo 3

Escolha do método e resumo do procedimento que usarei.
  • Como os sinais estão em forma \sin(\omega t+\varphi), uso a convenção direta em seno: fasor de pico \tilde{X}=A\angle\varphi.
  • Também calcularei o fasor em RMS usando \tilde{X}_{\mathrm{rms}}=\dfrac{A}{\sqrt{2}}\angle\varphi.
  • Passos práticos para cada sinal:
    1. Se houver fator -1, transformar em sinal positivo ajustando a fase em +180^\circ.
    2. Ler amplitude A e fase \varphi resultante.
    3. Escrever \tilde{X}=A\angle\varphi (pico) e \tilde{X}_{\mathrm{rms}}=\dfrac{A}{\sqrt{2}}\angle\varphi (RMS).
    4. Se desejar, converter para forma retangular com A(\cos\varphi + j\sin\varphi).

Passo 4

Conversão detalhada do item (b): \displaystyle i(t) = -8\sin\bigl(10t+70^\circ\bigr)\\ \mathrm{mA}.
  • Tratar o sinal negativo: -8\sin\bigl(10t+70^\circ\bigr)=8\sin\bigl(10t+70^\circ+180^\circ\bigr).Então a fase equivalente é 70^\circ+180^\circ=250^\circ. Convém trazer a fase para o intervalo (-180^\circ,180^\circ]: 250^\circ-360^\circ=-110^\circ. Portanto podemos escrever i(t)=8\sin\bigl(10t-110^\circ\bigr)\\ \mathrm{mA}.
  • Fasor de pico (convenção seno): \tilde{I}=8\angle -110^\circ\\ \mathrm{mA}.Aqui 8 é a amplitude de pico (unidades \mathrm{mA}) e -110^\circ é a fase.
  • Fasor em RMS: \tilde{I}_{\mathrm{rms}}=\frac{8}{\sqrt{2}}\angle -110^\circ\\ \mathrm{mA}.Calculemos numericamente \sqrt{2}\approx1{,}41421356, logo \frac{8}{\sqrt{2}}\approx 5{,}657\\ \mathrm{mA}.Assim \tilde{I}_{\mathrm{rms}}\approx 5{,}657\angle -110^\circ\\ \mathrm{mA}.
  • (Opcional, forma retangular) Se quiser a forma a+jb: \tilde{I}=8\bigl(\cos(-110^\circ)+j\sin(-110^\circ)\bigr)\approx -2{,}736 - j\,7{,}518\\ \mathrm{mA}.(Cálculo usando \cos110^\circ\approx -0{,}34202 e \sin110^\circ\approx 0{,}93969.)

Passo 5

Conversão detalhada do item (c): \displaystyle v(t)=120\sin\bigl(10t-50^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}.
  • Não há sinal negativo multiplicando, então amplitude e fase ficam diretas: v(t)=120\sin\bigl(10t-50^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}.
  • Fasor de pico (convenção seno): \tilde{V}=120\angle -50^\circ\\ \mathrm{V}.Aqui 120 é amplitude de pico (volts) e -50^\circ é a fase.
  • Fasor em RMS: \tilde{V}_{\mathrm{rms}}=\frac{120}{\sqrt{2}}\angle -50^\circ\\ \mathrm{V}.Numérico: \frac{120}{\sqrt{2}}\approx 84{,}853\\ \mathrm{V},então \tilde{V}_{\mathrm{rms}}\approx 84{,}853\angle -50^\circ\\ \mathrm{V}.
  • (Opcional, forma retangular) \tilde{V}=120\bigl(\cos(-50^\circ)+j\sin(-50^\circ)\bigr)\approx 77{,}142 - j\,91{,}943\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Resumo rápido e dica para a prova.
  • Regra prática que funciona em prova: leia amplitude e fase; se houver um - multiplicando a senoide, some 180^\circ à fase; escreva o fasor como A\angle\varphi (pico) e, se pedirem valores eficazes, divida A por \sqrt{2}.
  • Respira fundo: estes passos são mecânicos — com um ou dois exercícios você pega o jeito rapidinho. Vai dar certo!

Resposta

b) \tilde{I}=8\angle -110^\circ\\ \mathrm{mA} ; \tilde{I}_{\mathrm{rms}}=5{,}657\angle -110^\circ\\ \mathrm{mA}
c) \tilde{V}=120\angle -50^\circ\\ \mathrm{V} ; \tilde{V}_{\mathrm{rms}}=84{,}853\angle -50^\circ\\ \mathrm{V}

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