Questão 7
Obtenha as expressões no domínio do tempo para cada fasor abaixo:
a) v_{1}=0 \cup \angle 10^{-} v \omega=1
b) \dot{V}_{2}=6+j 8 \mathrm{~V} \omega=40

Passo 1

O enunciado pede para obter as expressões no domínio do tempo (sinais em função de t) correspondentes a dois fasores fornecidos. Dados que aparecem no enunciado:
  • a) Fasor associado a v_{1}: o enunciado fornece magnitude nula (escrito como 0) e um ângulo qualquer, e a frequência angular \omega=1.
  • b) Fasor associado a \dot{V}_{2}: \dot{V}_{2}=6+j8\\ \text{V} e \omega=40 (rad/s).
O que é pedido:
  • Para (a) e (b), escrever v(t) no domínio do tempo (uma expressão do tipo v(t)=\dots) correspondente ao respectivo fasor.

Passo 2

Conceito básico (regra prática que vou usar; explico bem devagarinho):
  • Um fasor \dot{V} representa o coeficiente complexo da exponencial fasorial: a ligação para o tempo é
v(t)=\mathrm{Re}\{\dot{V}\,e^{j\omega t}\}.
Aqui:
  • \dot{V} é o fasor complexo (número complexo, em volts);
  • \omega é a frequência angular (em rad/s);
  • \mathrm{Re}\{\cdot\} indica tomar a parte real;
  • e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t).
  • Outra forma muito usada (mais direta para provas) é escrever o sinal em forma de cosseno com amplitude e fase:
v(t)=V_{m}\cos(\omega t+\varphi),
onde
V_{m}=|\dot{V}|\quad\text{e}\quad \varphi=\arg(\dot{V}).
Explico: |\dot{V}| é o módulo do número complexo (a amplitude do cosseno) e \arg(\dot{V}) é a sua fase (ângulo). Se preferir radianos para a fase, converte-se graus para radianos por \text{rad}=\pi/180\cdot\text{graus}.

Passo 3

Resolver (a). O enunciado dá o fasor com magnitude nula: \dot{V}_1=0 (o ângulo não importa quando o módulo é zero). Aplicando a regra do passo anterior:
v_1(t)=\mathrm{Re}\{0\cdot e^{j\omega t}\}=0.
Comentário didático: um fasor de módulo zero representa sinal nulo no tempo, independente do \omega ou do ângulo. Então a resposta é simplesmente o sinal zero.

Passo 4

Resolver (b) — primeiro transformar o fasor para forma polar (módulo e ângulo).
Dado:
\dot{V}_2=6+j8\\ \text{V},\qquad \omega=40.
Cálculo do módulo:
|\dot{V}_2|=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\\ \text{V}.

Passo 5

Cálculo da fase (ângulo) do fasor:
\varphi=\arg(\dot{V}_2)=\arctan\!\left(\frac{8}{6}\right)=\arctan\!\left(\frac{4}{3}\right).
Como as componentes real e imaginária são positivas, o ângulo está no primeiro quadrante. Numericamente,
\varphi\approx 53,1301024^\circ \approx 0,927295218\\ \text{rad}.

Passo 6

Escrever o fasor em forma polar e obter o sinal no tempo em forma de cosseno:
\dot{V}_2=10\angle 53,13^\circ\\ \text{V}.
Usando v(t)=\mathrm{Re}\{\dot{V}_2 e^{j\omega t}\} ou diretamente v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi), obtemos
v_2(t)=10\cos\big(40\,t+53,13^\circ\big)\\ \text{V},
que em radianos para a fase é
v_2(t)=10\cos\big(40\,t+0,9273\\ \text{rad}\big)\\ \text{V}.

Passo 7

Forma alternativa (útil na prova): expandindo a definição da parte real fica claro que a mesma função pode ser escrita como combinação de cosseno e seno:
v_2(t)=\mathrm{Re}\{(6+j8)(\cos 40t + j\sin 40t)\}=6\cos(40t)-8\sin(40t).
Verificação rápida: usando identidades, 10\cos(40t+53,13^\circ)=10(\cos40t\cos53,13^\circ-\sin40t\sin53,13^\circ) e como \cos53,13^\circ=0,6 e \sin53,13^\circ=0,8, recupera-se 6\cos40t-8\sin40t.

Resposta

v_{1}(t)=0\\ \text{V}
v_{2}(t)=10\cos\big(40\,t+53,13^\circ\big)\\ \text{V}

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