Questão 7. Calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
\overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x, y, z)=x y z \vec{i}-x^{2} y \vec{k};

Passo 1

O enunciado pede: calcular o divergente e o rotacional (curl) do campo vetorial dado. Os dados fornecidos são:
  • Campo vetorial \overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x,y,z)=x y z\,\vec{i}-x^{2}y\,\vec{k}.
  • Identificar explicitamente as componentes do campo: \,F_1(x,y,z) (componente em \vec{i}), \,F_2(x,y,z) (componente em \vec{j}) e \,F_3(x,y,z) (componente em \vec{k}).
Das observações acima pegadas do enunciado:
  • \;F_1(x,y,z)=x y z.
  • \;F_2(x,y,z)=0 (não há termo em \vec{j}).
  • \;F_3(x,y,z)=-x^{2}y.
As perguntas que vamos responder:
  1. Calcular \nabla\cdot\overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x,y,z) (o divergente).
  2. Calcular \nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x,y,z) (o rotacional).

Passo 2

Definições e fórmulas que usaremos (explicando cada símbolo):
  • O operador nabla é \nabla=\left(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z}\right). Aqui \dfrac{\partial}{\partial x} significa derivada parcial em relação a x (tratando y e z como constantes), e análogas para as outras.
  • Divergente de um campo \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=(F_1,F_2,F_3) é
\nabla\cdot\overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\dfrac{\partial F_1}{\partial x}+\dfrac{\partial F_2}{\partial y}+\dfrac{\partial F_3}{\partial z}.
Isto mede, em cada ponto, a taxa de “saída” de campo por unidade de volume (fonte/sumidouro).
  • Rotacional (curl) é
\nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{F}}= \left(\dfrac{\partial F_3}{\partial y}-\dfrac{\partial F_2}{\partial z}\right)\vec{i} +\left(\dfrac{\partial F_1}{\partial z}-\dfrac{\partial F_3}{\partial x}\right)\vec{j} +\left(\dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}\right)\vec{k}.
Cada componente é uma combinação de derivadas parciais; o rotacional mede a tendência local do campo a “girar”.
Vou aplicar essas fórmulas às componentes que identificamos em Passo 1.

Passo 3

Calcular o divergente passo a passo:
  • Primeiro termo: \dfrac{\partial F_1}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x y z). Tratando y e z como constantes, isto é uma derivada de x multiplicada por constantes y z, logo
\dfrac{\partial F_1}{\partial x}=y z.
  • Segundo termo: \dfrac{\partial F_2}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(0)=0.
  • Terceiro termo: \dfrac{\partial F_3}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(-x^{2}y). Como -x^{2}y não depende de z, a derivada é 0.
Somando os três termos pela definição:
\nabla\cdot\overrightarrow{\boldsymbol{F}}=y z + 0 + 0 = y z.
Portanto o divergente é \,y z. (Interpretando: em cada ponto o campo tem “fonte” proporcional ao produto y z.)

Passo 4

Agora vamos ao rotacional. Reescrevendo as componentes para referência:
\;F_1=x y z,\;F_2=0,\;F_3=-x^{2}y.
Aplicamos a fórmula componente a componente. Lembre-se de como calcular cada derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.

Passo 5

Componente em \vec{i} do rotacional:
\left(\nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{F}}\right)_x=\dfrac{\partial F_3}{\partial y}-\dfrac{\partial F_2}{\partial z}.
  • \dfrac{\partial F_3}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(-x^{2}y)=-x^{2} (pois x^{2} é constante frente a y e a derivada de y é 1).
  • \dfrac{\partial F_2}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(0)=0.
Logo a componente em \vec{i} é -x^{2}-0=-x^{2}.

Passo 6

Componente em \vec{j} do rotacional:
\left(\nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{F}}\right)_y=\dfrac{\partial F_1}{\partial z}-\dfrac{\partial F_3}{\partial x}.
  • \dfrac{\partial F_1}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(x y z)=x y (tratam-se x e y como constantes, derivando z 1).
  • \dfrac{\partial F_3}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(-x^{2}y)=-2x y (a derivada de -x^{2} em relação a x é -2x, multiplicada por y).
Portanto
\left(\nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{F}}\right)_y = x y - (-2x y) = x y + 2x y = 3x y.

Passo 7

Componente em \vec{k} do rotacional:
\left(\nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{F}}\right)_z=\dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}.
  • \dfrac{\partial F_2}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(0)=0.
  • \dfrac{\partial F_1}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x y z)=x z (derivando em relação a y, x e z são constantes).
Logo a componente em \vec{k} é 0 - x z = -x z.

Passo 8

Juntando as três componentes obtemos o rotacional completo:
\nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{F}}=-x^{2}\,\vec{i}+3x y\,\vec{j}-x z\,\vec{k}.
Como checagem rápida (opcional mas útil na prova): existe a identidade vetorial \nabla\cdot(\nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{F}})=0 para campos suficientemente suaves. Calculando a divergência do rotacional encontrado:
\dfrac{\partial}{\partial x}(-x^{2})+\dfrac{\partial}{\partial y}(3x y)+\dfrac{\partial}{\partial z}(-x z)=-2x+3x-x=0,
confirma-se a identidade — sinal de que os cálculos estão coerentes.

Resposta

\nabla\cdot\overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x,y,z)=y z
\nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x,y,z)=-x^{2}\,\vec{i}+3x y\,\vec{j}-x z\,\vec{k}

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