Questão 7. Calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
;
Passo 1
O enunciado pede: calcular o divergente e o rotacional (curl) do campo vetorial dado. Os dados fornecidos são:
- Campo vetorial
. - Identificar explicitamente as componentes do campo:
(componente em ), (componente em ) e (componente em ).
Das observações acima pegadas do enunciado:
-
. -
(não há termo em ). -
.
As perguntas que vamos responder:
- Calcular
(o divergente). - Calcular
(o rotacional).
Passo 2
Definições e fórmulas que usaremos (explicando cada símbolo):
- O operador nabla é
. Aqui significa derivada parcial em relação a (tratando e como constantes), e análogas para as outras. - Divergente de um campo
é
Isto mede, em cada ponto, a taxa de “saída” de campo por unidade de volume (fonte/sumidouro).
- Rotacional (curl) é
Cada componente é uma combinação de derivadas parciais; o rotacional mede a tendência local do campo a “girar”.
Vou aplicar essas fórmulas às componentes que identificamos em Passo 1.
Passo 3
Calcular o divergente passo a passo:
- Primeiro termo:
. Tratando e como constantes, isto é uma derivada de multiplicada por constantes , logo
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
. Como não depende de , a derivada é .
Somando os três termos pela definição:
Portanto o divergente é
. (Interpretando: em cada ponto o campo tem “fonte” proporcional ao produto
.)
Passo 4
Agora vamos ao rotacional. Reescrevendo as componentes para referência:
Aplicamos a fórmula componente a componente. Lembre-se de como calcular cada derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
Aplicamos a fórmula componente a componente. Lembre-se de como calcular cada derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
Passo 5
Componente em
do rotacional:
-
(pois é constante frente a e a derivada de é ). -
.
Logo a componente em
é
.
Passo 6
Componente em
do rotacional:
-
(tratam-se e como constantes, derivando dá ). -
(a derivada de em relação a é , multiplicada por ).
Portanto
Passo 7
Componente em
do rotacional:
-
-
(derivando em relação a , e são constantes).
Logo a componente em
é
.
Passo 8
Juntando as três componentes obtemos o rotacional completo:
Como checagem rápida (opcional mas útil na prova): existe a identidade vetorial
para campos suficientemente suaves. Calculando a divergência do rotacional encontrado:
confirma-se a identidade — sinal de que os cálculos estão coerentes.