Questão 2. O campo vetorial \overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x, y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}} \vec{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \vec{j} aproxima o campo de velocidade da água, que ocorre quando se puxa um tampão em uma canalização. Representar graficamente esse campo.

Passo 1

O enunciado pede que eu represente graficamente o campo vetorial
\overrightarrow{F}(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\vec{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\vec{j}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • O campo está definido para todos os pontos (x,y) com x^{2}+y^{2}\neq0 (não está definido em (0,0)).
  • O objetivo é descrever/plotar a direção e o módulo dos vetores em vários pontos do plano — isto é, desenhar o campo (setas) e/ou as linhas de corrente (streamlines).
  • Vou fornecer uma explicação passo a passo de como obter a forma das linhas de corrente, a direção dos vetores e como desenhar o campo na prática.

Passo 2

Passo útil: trocar para coordenadas polares para entender direção e módulo. Fazendo a mudança
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
substituo em cada componente:
\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{-r\sin\theta}{r^{2}}=-\frac{\sin\theta}{r}, \qquad \frac{x}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r\cos\theta}{r^{2}}=\frac{\cos\theta}{r}.
Logo, em termos de vetores unitários polares, noto que o versor tangencial \hat{e}_\theta é dado por
\hat{e}_\theta = (-\sin\theta,\;\cos\theta).
Portanto o campo escreve-se de forma muito clara como
\overrightarrow{F}(r,\theta)=\frac{1}{r}\,\hat{e}_\theta.
Interpretação imediata: em cada ponto o vetor é tangente à circunferência de raio r (direção \hat{e}_\theta) e tem módulo \dfrac{1}{r}.

Passo 3

Agora encontro as linhas de corrente (trajectórias tangentes ao campo). Para uma linha de corrente y(x) vale
\frac{dy}{dx}=\frac{F_{y}}{F_{x}}=\frac{\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}}{\dfrac{-y}{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x}{-y}=-\frac{x}{y}.
Isto é uma equação diferencial ordinária separável. Reescrevo e integro:
y\,dy = -x\,dx.
Integrando ambos os lados:
\frac{1}{2}y^{2} = -\frac{1}{2}x^{2} + C,
onde C é constante. Multiplicando por 2 e rearranjando:
x^{2}+y^{2}=R^{2},
onde R^{2}=2C é constante positiva. Conclusão: as linhas de corrente são circunferências centradas na origem.

Passo 4

Direção do campo (sentido de circulação). A expressão em polares \dfrac{1}{r}\hat{e}_\theta indica que o vetor aponta no sentido de \theta crescente, ou seja, no sentido anti-horário (contrário ao sentido dos ponteiros do relógio). Posso verificar em pontos simples:
  • Em (1,0) temos r=1 e \overrightarrow{F}(1,0)=\left(0,\;1\right),ou seja, seta apontando para cima.
  • Em (0,1) temos \overrightarrow{F}(0,1)=\left(-1,\;0\right),seta para a esquerda.
  • Em (-1,0): \overrightarrow{F}(-1,0)=\left(0,-1\right),seta para baixo.
  • Em (0,-1): \overrightarrow{F}(0,-1)=\left(1,0\right),seta para a direita.
    Esses quatro pontos mostram claramente a circulação anti-horária ao redor da origem.

Passo 5

Comportamento do módulo e singularidade. O módulo do vetor é
\|\overrightarrow{F}\|=\frac{1}{r}.
Isto implica:
  • Para r grande as setas ficam pequenas (velocidade decresce com a distância).
  • Para r pequeno as setas crescem muito; em r\to0 o módulo tende a infinito — por isso o campo não está definido em (0,0) (há uma singularidade/poço no centro).
    Na prática, ao desenhar, costuma-se normalizar as setas próximas à origem (ou usar setas de comprimento proporcional a \min(1/r,\;L_{\max})) para não estourar o gráfico.

Passo 6

Propriedades úteis (intuição física e matemática):
  • O campo é divergente nulo fora da origem (fluido incompressível): \nabla\cdot\overrightarrow{F}=0 para r\neq0.
  • O rotor (curl) também é nulo fora da origem: \nabla\times\overrightarrow{F}=0 para r\neq0. Isso significa que localmente o campo é irrotacional, mas devido à singularidade no centro ele tem circulação não nula em torno de curvas que envolvem a origem (campo não conservativo em todo o plano menos a origem). Essas propriedades explicam por que as linhas de corrente são círculos fechados.

Passo 7

Instruções práticas para desenhar o campo (passo a passo para você mesmo rascunhar):
  1. Desenhe várias circunferências concêntricas centradas na origem com raios r=0{,}5, 1, 2, 3 (por exemplo).
  2. Em cada circunferência, escolha alguns pontos (ângulos \theta como 0,\;\tfrac{\pi}{4},\;\tfrac{\pi}{2},\;\ldots) e desenhe um vetor tangente à circunferência no sentido anti-horário.
  3. Ajuste o comprimento do vetor para ser aproximadamente proporcional a \dfrac{1}{r} (vetores maiores em circunferências mais próximas do centro).
  4. Não desenhe nada no ponto (0,0); marque esse ponto como singularidade (por exemplo, um pequeno círculo preenchido ou uma cruz) e, se quiser, indique com uma seta que a intensidade cresce perto dele.
  5. Se for usar um software (Python/matplotlib, Mathematica, etc.), definir uma malha e plotar vetores normalizados ou com escala de 1/r funciona bem; para visualizar as linhas de corrente, trace as curvas integrais que serão exatamente circunferências.

Passo 8

Resumo final (o que você deve colocar no desenho):
  • Linhas de corrente: círculos x^{2}+y^{2}=R^{2}.
  • Direção: anti-horário.
  • Módulo dos vetores: \dfrac{1}{r} (setas maiores perto da origem).
  • Singularidade em (0,0) (campo não definido ali).

Resposta

O campo é tangencial às circunferências centradas na origem, com linhas de corrente x^{2}+y^{2}=R^{2}, vetores apontando no sentido anti-horário e módulo \|\overrightarrow{F}\|=\dfrac{1}{r}; o campo é singular em (0,0).

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