Questão 2. O campo vetorial
aproxima o campo de velocidade da água, que ocorre quando se puxa um tampão em uma canalização. Representar graficamente esse campo.
Passo 1
O enunciado pede que eu represente graficamente o campo vetorial
Informações dadas e o que é pedido:
- O campo está definido para todos os pontos
com (não está definido em ). - O objetivo é descrever/plotar a direção e o módulo dos vetores em vários pontos do plano — isto é, desenhar o campo (setas) e/ou as linhas de corrente (streamlines).
- Vou fornecer uma explicação passo a passo de como obter a forma das linhas de corrente, a direção dos vetores e como desenhar o campo na prática.
Passo 2
Passo útil: trocar para coordenadas polares para entender direção e módulo. Fazendo a mudança
substituo em cada componente:
Logo, em termos de vetores unitários polares, noto que o versor tangencial
é dado por
Portanto o campo escreve-se de forma muito clara como
Interpretação imediata: em cada ponto o vetor é tangente à circunferência de raio
(direção
) e tem módulo
.
Passo 3
Agora encontro as linhas de corrente (trajectórias tangentes ao campo). Para uma linha de corrente
vale
Isto é uma equação diferencial ordinária separável. Reescrevo e integro:
Integrando ambos os lados:
onde
é constante. Multiplicando por
e rearranjando:
onde
é constante positiva. Conclusão: as linhas de corrente são circunferências centradas na origem.
Passo 4
Direção do campo (sentido de circulação). A expressão em polares
indica que o vetor aponta no sentido de
crescente, ou seja, no sentido anti-horário (contrário ao sentido dos ponteiros do relógio). Posso verificar em pontos simples:
- Em
temos e ou seja, seta apontando para cima. - Em
temos seta para a esquerda. - Em
: seta para baixo. - Em
: seta para a direita.
Esses quatro pontos mostram claramente a circulação anti-horária ao redor da origem.
Passo 5
Comportamento do módulo e singularidade. O módulo do vetor é
Isto implica:
- Para
grande as setas ficam pequenas (velocidade decresce com a distância). - Para
pequeno as setas crescem muito; em o módulo tende a infinito — por isso o campo não está definido em (há uma singularidade/poço no centro).
Na prática, ao desenhar, costuma-se normalizar as setas próximas à origem (ou usar setas de comprimento proporcional a) para não estourar o gráfico.
Passo 6
Propriedades úteis (intuição física e matemática):
- O campo é divergente nulo fora da origem (fluido incompressível):
para . - O rotor (curl) também é nulo fora da origem:
para . Isso significa que localmente o campo é irrotacional, mas devido à singularidade no centro ele tem circulação não nula em torno de curvas que envolvem a origem (campo não conservativo em todo o plano menos a origem). Essas propriedades explicam por que as linhas de corrente são círculos fechados.
Passo 7
Instruções práticas para desenhar o campo (passo a passo para você mesmo rascunhar):
- Desenhe várias circunferências concêntricas centradas na origem com raios
, , , (por exemplo). - Em cada circunferência, escolha alguns pontos (ângulos
como ) e desenhe um vetor tangente à circunferência no sentido anti-horário. - Ajuste o comprimento do vetor para ser aproximadamente proporcional a
(vetores maiores em circunferências mais próximas do centro). - Não desenhe nada no ponto
; marque esse ponto como singularidade (por exemplo, um pequeno círculo preenchido ou uma cruz) e, se quiser, indique com uma seta que a intensidade cresce perto dele. - Se for usar um software (Python/matplotlib, Mathematica, etc.), definir uma malha e plotar vetores normalizados ou com escala de 1/r funciona bem; para visualizar as linhas de corrente, trace as curvas integrais que serão exatamente circunferências.
Passo 8
Resumo final (o que você deve colocar no desenho):
- Linhas de corrente: círculos
. - Direção: anti-horário.
- Módulo dos vetores:
(setas maiores perto da origem). - Singularidade em
(campo não definido ali).
Resposta
O campo é tangencial às circunferências centradas na origem, com linhas de corrente
, vetores apontando no sentido anti-horário e módulo
; o campo é singular em
.