Questão 7. Calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
\overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x, y, z)=\cos (x z) \vec{j}-\operatorname{sen}(x y) \vec{k};

Passo 1

O enunciado pede dois cálculos sobre o campo vetorial
\overrightarrow{\boldsymbol{F}}(x,y,z)=\cos(xz)\,\vec{j}-\operatorname{sen}(xy)\,\vec{k}.
As perguntas são:
  • Calcular o divergente de \overrightarrow{\boldsymbol{F}}.
  • Calcular o rotacional (curl) de \overrightarrow{\boldsymbol{F}}.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • As componentes de \overrightarrow{\boldsymbol{F}} são, explicitamente, F_1(x,y,z)=0,\qquad F_2(x,y,z)=\cos(xz),\qquad F_3(x,y,z)=-\operatorname{sen}(xy).(Aqui \vec{i} tem componente F_1, \vec{j} tem F_2 e \vec{k} tem F_3.)
  • Não há nenhuma dependência oculta: F_2 depende de x e z, e F_3 depende de x e y.

Passo 2

Definição e ideia prática do divergente, para eu te explicar antes de calcular: o divergente de um campo vetorial \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=(F_1,F_2,F_3) é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas variáveis:
\operatorname{div}\overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Intuição curta: diverge das linhas do campo — se for zero, localmente não há “fonte” nem “sumidouro”.
Agora aplico essa fórmula às componentes que identifiquei.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que entram no divergente:
  • \dfrac{\partial F_1}{\partial x}=\dfrac{\partial 0}{\partial x}=0.
  • \dfrac{\partial F_2}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(\cos(xz)\big)=0, porque \cos(xz) não depende de y.
  • \dfrac{\partial F_3}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\big(-\operatorname{sen}(xy)\big)=0, porque -\operatorname{sen}(xy) não depende de z.
Somando:
\operatorname{div}\overrightarrow{\boldsymbol{F}}=0+0+0=0.

Passo 4

Definição e ideia prática do rotacional (curl): para \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=(F_1,F_2,F_3) o rotacional é o vetor
\operatorname{rot}\overrightarrow{\boldsymbol{F}}= \left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\vec{i} +\left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\right)\vec{j} +\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\vec{k}.
Intuição curta: mede a tendência local de rotação do campo (como um pequeno redemoinho).
Antes de calcular, lembrando a regra da cadeia: se g(u) é função composta g(u(x,y,z)), então \partial_x g(u)=g'(u)\,\partial_x u. Vou usar isso nas derivadas de \cos(xz) e de -\operatorname{sen}(xy).

Passo 5

Calcular cada derivada necessária (usando regra da cadeia):
  • \dfrac{\partial F_3}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(-\operatorname{sen}(xy)\big)=-\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=-\cos(xy)\cdot x=-x\cos(xy).
  • \dfrac{\partial F_2}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\big(\cos(xz)\big)=-\sin(xz)\cdot\frac{\partial}{\partial z}(xz)=-\sin(xz)\cdot x=-x\sin(xz).
  • \dfrac{\partial F_1}{\partial z}=\dfrac{\partial 0}{\partial z}=0.
  • \dfrac{\partial F_3}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(-\operatorname{sen}(xy)\big)=-\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy)=-\cos(xy)\cdot y=-y\cos(xy).
  • \dfrac{\partial F_2}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(\cos(xz)\big)=-\sin(xz)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xz)=-\sin(xz)\cdot z=-z\sin(xz).
  • \dfrac{\partial F_1}{\partial y}=\dfrac{\partial 0}{\partial y}=0.

Passo 6

Agora montamos os componentes do rotacional usando os resultados:
  • Componente \vec{i}: \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} =(-x\cos(xy)) - (-x\sin(xz)) =x\big(\sin(xz)-\cos(xy)\big).
  • Componente \vec{j}: \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} =0 - (-y\cos(xy)) =y\cos(xy).
  • Componente \vec{k}: \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} =(-z\sin(xz)) - 0 =-z\sin(xz).
Portanto
\operatorname{rot}\overrightarrow{\boldsymbol{F}}= x\big(\sin(xz)-\cos(xy)\big)\,\vec{i} + y\cos(xy)\,\vec{j} - z\sin(xz)\,\vec{k}.
Uma checagem rápida e agradável: a identidade \operatorname{div}(\operatorname{rot}\overrightarrow{\boldsymbol{F}})=0 vale para campos suaves; se calcularmos a divergência do rotacional acima obtemos zero (confirmação de que os cálculos estão consistentes).

Resposta

\displaystyle \operatorname{div}\overrightarrow{\boldsymbol{F}}=0
\displaystyle \operatorname{rot}\overrightarrow{\boldsymbol{F}}= x\big(\sin(xz)-\cos(xy)\big)\,\vec{i} + y\cos(xy)\,\vec{j} - z\sin(xz)\,\vec{k}

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