Questão 7. Calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
;
Passo 1
O enunciado pede dois cálculos sobre o campo vetorial
As perguntas são:
- Calcular o divergente de
. - Calcular o rotacional (curl) de
.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
- As componentes de
são, explicitamente, (Aqui tem componente , tem e tem .) - Não há nenhuma dependência oculta:
depende de e , e depende de e .
Passo 2
Definição e ideia prática do divergente, para eu te explicar antes de calcular: o divergente de um campo vetorial
é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas variáveis:
Intuição curta: diverge das linhas do campo — se for zero, localmente não há “fonte” nem “sumidouro”.
Agora aplico essa fórmula às componentes que identifiquei.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que entram no divergente:
-
-
, porque não depende de . -
, porque não depende de .
Somando:
Passo 4
Definição e ideia prática do rotacional (curl): para
o rotacional é o vetor
Intuição curta: mede a tendência local de rotação do campo (como um pequeno redemoinho).
Antes de calcular, lembrando a regra da cadeia: se
é função composta
, então
. Vou usar isso nas derivadas de
e de
.
Passo 5
Calcular cada derivada necessária (usando regra da cadeia):
Passo 6
Agora montamos os componentes do rotacional usando os resultados:
- Componente
: - Componente
: - Componente
:
Portanto
Uma checagem rápida e agradável: a identidade
vale para campos suaves; se calcularmos a divergência do rotacional acima obtemos zero (confirmação de que os cálculos estão consistentes).