2^{a} Questāo: Calcule, se existir, o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0), onde:
f(x, y)=\frac{x^{2} \cos (y)}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{x^{2}\cos(y)}{x^{2}+y^{2}}
e pede o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo aqui é análise de limite em várias variáveis, e vamos usar o teste de caminhos distintos para verificar se o limite existe.

Passo 2

Analisamos o caminho y=0. Nesse caso
f(x,0)=\frac{x^{2}\cos(0)}{x^{2}+0^{2}} =\frac{x^{2}\cdot1}{x^{2}} =1.
Logo, ao nos aproximarmos de (0,0) por y=0, o valor de f tende a
\lim_{x\to0}f(x,0)=1.

Passo 3

Agora escolhemos o caminho y=x. Temos
f(x,x) =\frac{x^{2}\cos(x)}{x^{2}+x^{2}} =\frac{x^{2}\cos(x)}{2x^{2}} =\frac{\cos(x)}{2}.
Portanto, ao nos aproximarmos de (0,0) por y=x,
\lim_{x\to0}f(x,x) =\frac{\cos(0)}{2} =\frac{1}{2}.

Passo 4

Como o limite ao longo de y=0 é 1 e ao longo de y=x é 1/2, obtemos valores diferentes dependendo do caminho. Isso mostra que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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