Para comparar a idade média de alunos que frequentam uma Universidade foram selecionados (independentemente) 7 alunos do turno diurno e 10 alunos do turno noturno. A idade média amostral do turno diurno foi de 20.17 anos e do noturno foi de 23.07 anos. As variâncias amostrais para ambos os turnos foram, respectivamente, de 1.16 anos ^{2} e 6.43 anos { }^{2}. Assumindo variâncias populacionais desconhecidas e distintas e considerando um teste de hipótese bilateral com 5% de significância para a verificar a igualdade entre as idades médias dos alunos de ambos os turnos, calcule o que se pede (utilize 4 casas decimais).
a. Qual é o valor da estatística teste? -3,2249
b. Qual é o valor (ponto) crítico superior do teste realizado no item anterior?
2,160

Passo 1

O enunciado pede um teste de igualdade entre duas médias com amostras independentes, variâncias populacionais desconhecidas e distintas (teste de Welch) a 5 % de significância.
Dados do turno diurno:
n_1 = 7
\bar x_1 = 20,17
s_1^2 = 1,16
Dados do turno noturno:
n_2 = 10
\bar x_2 = 23,07
s_2^2 = 6,43

Passo 2

A estatística de teste é
t \;=\;\frac{\bar x_1 - \bar x_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}
Substituindo os valores:
\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}} =\sqrt{\frac{1,16}{7}+\frac{6,43}{10}} =\sqrt{0,1657+0,6430} =\sqrt{0,8087} \approx 0,8993

Passo 3

Calculando t:
t =\frac{20,17 - 23,07}{0,8993} =\frac{-2,90}{0,8993} \approx -3,2249

Passo 4

Para encontrar o ponto crítico, calculamos os graus de liberdade aproximados de Welch:
\nu =\frac{\bigl(\tfrac{s_1^2}{n_1}+\tfrac{s_2^2}{n_2}\bigr)^2} {\tfrac{(\,s_1^2/n_1\,)^2}{n_1-1}+\tfrac{(\,s_2^2/n_2\,)^2}{n_2-1}} =\frac{(0,1657+0,6430)^2}{\tfrac{0,1657^2}{6}+\tfrac{0,6430^2}{9}} =\frac{0,6540}{0,004578+0,045934} \approx 12,96

Passo 5

Como o teste é bilateral com \alpha=0,05, o ponto crítico superior é
t_{0,975;\,12,96}\approx 2,1600

Resposta

a) -3,2249
b) 2,1600

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