Questão 3. Calcule f^{\prime}, f^{\prime \prime} e f^{\prime \prime \prime} para:
y=\sqrt[3]{x}

Passo 1

O enunciado dá a função y=\sqrt[3]{x} e pede para calcular as derivadas de ordem 1, 2 e 3, isto é f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x) e f^{\prime\prime\prime}(x).
Informações importantes fornecidas:
  • A função é y=\sqrt[3]{x}.
  • Precisamos das três derivadas sucessivas.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a função em potência para aplicar as regras de derivação de forma direta. A raiz cúbica pode ser escrita como potência:
y = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}.
Aqui x é a variável independente e o expoente n=\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Vou lembrar a regra que vou usar (e explicar bem): a regra do poder (power rule). Para uma função x^{n}, com n real, a derivada é
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big) = n\,x^{n-1}.
O que isso significa: pega-se o expoente n, multiplica-se a função por esse número e diminui-se o expoente em 1. Essa fórmula é válida sempre que a expressão fizer sentido (por exemplo para x=0 e expoentes que produzem potências negativas a derivada pode não estar definida em 0). Vou aplicar isso repetidas vezes.

Passo 4

Calcular a primeira derivada aplicando a regra do poder com n=\tfrac{1}{3}:
y'=\frac{d}{dx}\big(x^{1/3}\big)=\frac{1}{3}\,x^{1/3-1}=\frac{1}{3}\,x^{-2/3}.
É útil também escrever em forma de raiz:
y'=\frac{1}{3}x^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}.
Observação sobre domínio: como apareceu x^{-2/3} (potência negativa), essa expressão não é finita em x=0. Portanto a fórmula acima vale para x\neq 0. (Comentário extra curto: a derivada em 0 não existe em valor finito porque a expressão tende a +\infty ao aproximar-se de 0.)

Passo 5

Agora a segunda derivada: diferenciar y'=\frac{1}{3}x^{-2/3}. Aplico novamente a regra do poder; aqui o coeficiente \tfrac{1}{3} permanece e multiplica-se pelo novo expoente:
y''=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{3}x^{-2/3}\right)=\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)x^{-2/3-1}.
Calculo o coeficiente e o novo expoente:
\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{2}{9},\qquad -\frac{2}{3}-1=-\frac{5}{3}.
Logo
y''=-\frac{2}{9}\,x^{-5/3}.
Em forma de raiz:
y''=-\frac{2}{9\sqrt[3]{x^{5}}}.
Novamente vale para x\neq 0, pois há potência negativa em x.

Passo 6

Terceira derivada: diferenciar y''=-\dfrac{2}{9}x^{-5/3}. Aplicando a regra do poder:
y'''=\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{2}{9}x^{-5/3}\right)=-\frac{2}{9}\cdot\left(-\frac{5}{3}\right)x^{-5/3-1}.
Faço as contas do coeficiente e do expoente:
-\frac{2}{9}\cdot\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{10}{27},\qquad -\frac{5}{3}-1=-\frac{8}{3}.
Portanto
y'''=\frac{10}{27}\,x^{-8/3}.
Em forma de raiz:
y'''=\frac{10}{27\sqrt[3]{x^{8}}}.
Também válido para x\neq 0.

Passo 7

Resumo das observações finais (úteis para a prova):
  • A técnica prática é sempre reescrever \sqrt[3]{x} como x^{1/3} e aplicar a regra do poder repetidas vezes.
  • As expressões encontradas têm potências negativas, logo as fórmulas fechadas valem para x\neq 0.
  • Em particular, a derivada em x=0 não existe em valor finito (a expressão tende a +\infty), e consequentemente as derivadas de ordem maior também não estão definidas em 0.

Resposta

f'(x)=\dfrac{1}{3}x^{-2/3}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}} (para x\neq 0)
f''(x)=-\dfrac{2}{9}x^{-5/3}=-\dfrac{2}{9\sqrt[3]{x^{5}}} (para x\neq 0)
f'''(x)=\dfrac{10}{27}x^{-8/3}=\dfrac{10}{27\sqrt[3]{x^{8}}} (para x\neq 0)

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