Questão 3. Calcule
para:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas de ordem 1, 2 e 3, isto é
,
e
.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A função é
. - Precisamos das três derivadas sucessivas.
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a função em potência para aplicar as regras de derivação de forma direta. A raiz cúbica pode ser escrita como potência:
Aqui
é a variável independente e o expoente
.
Passo 3
Vou lembrar a regra que vou usar (e explicar bem): a regra do poder (power rule). Para uma função
, com
real, a derivada é
O que isso significa: pega-se o expoente
, multiplica-se a função por esse número e diminui-se o expoente em
. Essa fórmula é válida sempre que a expressão fizer sentido (por exemplo para
e expoentes que produzem potências negativas a derivada pode não estar definida em
). Vou aplicar isso repetidas vezes.
Passo 4
Calcular a primeira derivada aplicando a regra do poder com
:
É útil também escrever em forma de raiz:
Observação sobre domínio: como apareceu
(potência negativa), essa expressão não é finita em
. Portanto a fórmula acima vale para
. (Comentário extra curto: a derivada em
não existe em valor finito porque a expressão tende a
ao aproximar-se de
.)
Passo 5
Agora a segunda derivada: diferenciar
. Aplico novamente a regra do poder; aqui o coeficiente
permanece e multiplica-se pelo novo expoente:
Calculo o coeficiente e o novo expoente:
Logo
Em forma de raiz:
Novamente vale para
, pois há potência negativa em
.
Passo 6
Terceira derivada: diferenciar
. Aplicando a regra do poder:
Faço as contas do coeficiente e do expoente:
Portanto
Em forma de raiz:
Também válido para
.
Passo 7
Resumo das observações finais (úteis para a prova):
- A técnica prática é sempre reescrever
como e aplicar a regra do poder repetidas vezes. - As expressões encontradas têm potências negativas, logo as fórmulas fechadas valem para
. - Em particular, a derivada em
não existe em valor finito (a expressão tende a ), e consequentemente as derivadas de ordem maior também não estão definidas em .