Questão 4. Derive implicitamente:
y^{3}+x^{2} y=x+4

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
y^{3}+x^{2}y = x+4
e pede para derivar implicitamente, ou seja, encontrar \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.
Informações relevantes:
  • A equação relaciona x e y sem isolar y.
  • Quer-se a derivada de y em relação a x, \dfrac{dy}{dx}.
  • Vou diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x.

Passo 2

Regra básica que vou usar: a derivação é linear, então \dfrac{d}{dx} pode ser aplicada termo a termo. Ao derivar uma expressão que envolve y, que é função de x (mesmo que não escrita explicitamente), uso a regra da cadeia: derivo a função externa e multiplico pela derivada interna \dfrac{dy}{dx}.
Exemplo curto da regra da cadeia: se u=u(x), então
\frac{d}{dx}\big(u^{3}\big)=3u^{2}\frac{du}{dx}.

Passo 3

Derivo o primeiro termo \,y^{3}\, em relação a x. Aplicando a regra da cadeia com u=y(x):
\frac{d}{dx}\big(y^{3}\big)=3y^{2}\frac{dy}{dx}.
Explicação: a derivada de u^{3} é 3u^{2} e depois multiplica-se por du/dx, que aqui é dy/dx.

Passo 4

Derivo o termo x^{2}y. Este é um produto de duas funções de x: x^{2} e y(x). Uso a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)\cdot y + x^{2}\cdot\frac{d}{dx}\big(y\big).
Calculando cada parte:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x,\qquad \frac{d}{dx}\big(y\big)=\frac{dy}{dx}.
Portanto
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=2x\cdot y + x^{2}\cdot\frac{dy}{dx}.

Passo 5

Derivo o lado direito x+4. Derivada de x é 1 e de 4 (constante) é 0. Logo:
\frac{d}{dx}\big(x+4\big)=1.

Passo 6

Juntando as derivadas termo a termo (aplicando linearidade da derivada) obtemos:
\frac{d}{dx}\big(y^{3}\big)+\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=\frac{d}{dx}\big(x+4\big).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
3y^{2}\frac{dy}{dx} + \big(2xy + x^{2}\frac{dy}{dx}\big) = 1.

Passo 7

Agrupo os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} para isolar a derivada:
3y^{2}\frac{dy}{dx} + x^{2}\frac{dy}{dx} + 2xy = 1.
Fatorando \dfrac{dy}{dx}:
\big(3y^{2} + x^{2}\big)\frac{dy}{dx} + 2xy = 1.

Passo 8

Isolo \dfrac{dy}{dx}: subtraio 2xy de ambos os lados e divido por (3y^{2}+x^{2}):
\big(3y^{2} + x^{2}\big)\frac{dy}{dx} = 1 - 2xy,
\frac{dy}{dx} = \frac{1-2xy}{3y^{2}+x^{2}}.
Comentário rápido: a derivada está indefinida quando 3y^{2}+x^{2}=0, o que só ocorre se x=0 e y=0 simultaneamente; nesse ponto a fórmula não vale porque dividir por zero não é permitido. Para verificar consistência, qualquer ponto (x,y) usado na fórmula deve satisfazer a equação original.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{1-2xy}{3y^{2}+x^{2}}

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