Questão 4. Derive implicitamente:
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede para derivar implicitamente, ou seja, encontrar
em termos de
e
.
Informações relevantes:
- A equação relaciona
e sem isolar . - Quer-se a derivada de
em relação a , . - Vou diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
.
Passo 2
Regra básica que vou usar: a derivação é linear, então
pode ser aplicada termo a termo. Ao derivar uma expressão que envolve
, que é função de
(mesmo que não escrita explicitamente), uso a regra da cadeia: derivo a função externa e multiplico pela derivada interna
.
Exemplo curto da regra da cadeia: se
, então
Passo 3
Derivo o primeiro termo
em relação a
. Aplicando a regra da cadeia com
:
Explicação: a derivada de
é
e depois multiplica-se por
, que aqui é
.
Passo 4
Derivo o termo
. Este é um produto de duas funções de
:
e
. Uso a regra do produto:
Calculando cada parte:
Portanto
Passo 5
Derivo o lado direito
. Derivada de
é
e de
(constante) é
. Logo:
Passo 6
Juntando as derivadas termo a termo (aplicando linearidade da derivada) obtemos:
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Passo 7
Agrupo os termos que contêm
para isolar a derivada:
Fatorando
:
Passo 8
Isolo
: subtraio
de ambos os lados e divido por
:
Comentário rápido: a derivada está indefinida quando
, o que só ocorre se
e
simultaneamente; nesse ponto a fórmula não vale porque dividir por zero não é permitido. Para verificar consistência, qualquer ponto
usado na fórmula deve satisfazer a equação original.