Questão 3. Calcule
para:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule as derivadas primeira, segunda e terceira da função dada. Informações fornecidas:
- A função é
. - As quantidades que preciso entregar são
, e .
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a função de forma que seja mais fácil aplicar regras de derivação. A fração
pode ser escrita como potência negativa:
Isso facilita porque a regra básica que vamos usar funciona direto em potências.
Passo 3
Vou revisar as regras que preciso usar (explicando como se fosse uma aulinha rápida):
- Regra do coeficiente constante: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Ou seja, para constante
e função ,
- Regra da potência (power rule): para qualquer expoente real
,
Aqui
é a variável e
é o expoente que pode ser inteiro negativo, positivo ou fracionário; o resultado é multiplicar por
e diminuir o expoente em 1.
Exemplo rápido e concreto: se
, então
. Se
, então
.
Passo 4
Agora aplico as regras termo a termo para obter a primeira derivada
.
A função reescrita é
A função reescrita é
- Derivada do primeiro termo
: usar regra do coeficiente e da potência.
- Derivada do segundo termo
:
Portanto, somando,
Se preferir em forma de fração:
Passo 5
Agora calculo a segunda derivada
derivando
termo a termo. Parto de
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Somando,
Em forma de fração:
Passo 6
Finalmente calculo a terceira derivada
derivando
. Parto de
- Derivada de
(constante) é . - Derivada de
:
Portanto
Em forma de fração:
Passo 7
Observações finais rápidas e úteis para a prova:
- Em todos os passos apliquei a regra da potência e a propriedade da derivada de soma/constante. É um processo mecânico: reescrever potências negativas, aplicar
, simplificar. - Lembre-se do domínio: as expressões com
no denominador exigem . As derivadas acima valem para . - Para checar rapidamente: o grau da potência decresce em 1 a cada derivada (quando se trata de potências simples), o que confirma as formas encontradas.