Questão 3. Calcule f^{\prime}, f^{\prime \prime} e f^{\prime \prime \prime} para:
y=5 x^{2}-\frac{1}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule as derivadas primeira, segunda e terceira da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é y=5x^{2}-\dfrac{1}{x^{3}}.
  • As quantidades que preciso entregar são f^{\prime}, f^{\prime\prime} e f^{\prime\prime\prime}.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a função de forma que seja mais fácil aplicar regras de derivação. A fração \dfrac{1}{x^{3}} pode ser escrita como potência negativa:
y = 5x^{2} - \dfrac{1}{x^{3}} = 5x^{2} - x^{-3}.
Isso facilita porque a regra básica que vamos usar funciona direto em potências.

Passo 3

Vou revisar as regras que preciso usar (explicando como se fosse uma aulinha rápida):
  • Regra do coeficiente constante: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Ou seja, para constante a e função g(x),
\frac{d}{dx}\big(a\cdot g(x)\big) = a\cdot g'(x).
  • Regra da potência (power rule): para qualquer expoente real n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big) = n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente que pode ser inteiro negativo, positivo ou fracionário; o resultado é multiplicar por n e diminuir o expoente em 1.
Exemplo rápido e concreto: se h(x)=x^{4}, então h'(x)=4x^{3}. Se k(x)=x^{-2}, então k'(x)=-2x^{-3}.

Passo 4

Agora aplico as regras termo a termo para obter a primeira derivada f^{\prime}.
A função reescrita é
y = 5x^{2} - x^{-3}.
  • Derivada do primeiro termo 5x^{2}: usar regra do coeficiente e da potência.
\frac{d}{dx}\big(5x^{2}\big) = 5\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big) = 5\cdot(2x^{1}) = 10x.
  • Derivada do segundo termo -x^{-3}:
\frac{d}{dx}\big(-x^{-3}\big) = -\frac{d}{dx}\big(x^{-3}\big) = -(-3)x^{-4} = 3x^{-4}.
Portanto, somando,
f^{\prime}(x)=10x+3x^{-4}.
Se preferir em forma de fração:
f^{\prime}(x)=10x+\dfrac{3}{x^{4}}.

Passo 5

Agora calculo a segunda derivada f^{\prime\prime} derivando f^{\prime} termo a termo. Parto de
f^{\prime}(x)=10x+3x^{-4}.
  • Derivada de 10x:
\frac{d}{dx}\big(10x\big)=10\cdot\frac{d}{dx}(x)=10\cdot1=10.
  • Derivada de 3x^{-4}:
\frac{d}{dx}\big(3x^{-4}\big)=3\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{-4}\big)=3\cdot(-4)x^{-5}=-12x^{-5}.
Somando,
f^{\prime\prime}(x)=10-12x^{-5}.
Em forma de fração:
f^{\prime\prime}(x)=10-\dfrac{12}{x^{5}}.

Passo 6

Finalmente calculo a terceira derivada f^{\prime\prime\prime} derivando f^{\prime\prime}. Parto de
f^{\prime\prime}(x)=10-12x^{-5}.
  • Derivada de 10 (constante) é 0.
  • Derivada de -12x^{-5}:
\frac{d}{dx}\big(-12x^{-5}\big)=-12\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{-5}\big)=-12\cdot(-5)x^{-6}=60x^{-6}.
Portanto
f^{\prime\prime\prime}(x)=60x^{-6}.
Em forma de fração:
f^{\prime\prime\prime}(x)=\dfrac{60}{x^{6}}.

Passo 7

Observações finais rápidas e úteis para a prova:
  • Em todos os passos apliquei a regra da potência e a propriedade da derivada de soma/constante. É um processo mecânico: reescrever potências negativas, aplicar n x^{n-1}, simplificar.
  • Lembre-se do domínio: as expressões com x no denominador exigem x\neq 0. As derivadas acima valem para x\neq 0.
  • Para checar rapidamente: o grau da potência decresce em 1 a cada derivada (quando se trata de potências simples), o que confirma as formas encontradas.

Resposta

f^{\prime}(x)=10x+3x^{-4}=\displaystyle 10x+\dfrac{3}{x^{4}}\n
f^{\prime\prime}(x)=10-12x^{-5}=\displaystyle 10-\dfrac{12}{x^{5}}\n
f^{\prime\prime\prime}(x)=60x^{-6}=\displaystyle \dfrac{60}{x^{6}}

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