Questão 3: Calcule f^{\prime}(x) pela definição, onde f(x)=\frac{x}{x+1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada pela definição da função \displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1}.
Informações dadas: a expressão de f(x) é \displaystyle \frac{x}{x+1}. A tarefa é obter f'(x) usando a definição (limite do quociente incremental). Note que a função não está definida em \displaystyle x=-1, então a derivada só pode existir para \displaystyle x\neq -1.

Passo 2

Vou usar a definição de derivada no ponto x. Explique o que isso significa: a derivada f'(x) é o limite quando um pequeno incremento h tende a zero do quociente entre a variação de f e h. A fórmula é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui \displaystyle h representa um pequeno aumento em x; ao final fazemos \displaystyle h\to0.

Passo 3

Calcule f(x+h). Substituímos x por x+h em f:
f(x+h)=\frac{x+h}{x+h+1}.
Agora escrevemos a diferença f(x+h)-f(x):
f(x+h)-f(x)=\frac{x+h}{x+h+1}-\frac{x}{x+1}.
Para somar/subtrair frações, colocamos em denominador comum:
f(x+h)-f(x)=\frac{(x+h)(x+1)-x(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}.

Passo 4

Desenvolvemos as multiplicações no numerador passo a passo (não pule etapas):
(x+h)(x+1)=x^2+x+hx+h,
x(x+h+1)=x^2+hx+x.
Subtraindo:
(x+h)(x+1)-x(x+h+1)=(x^2+x+hx+h)-(x^2+hx+x).
Agora cancele termos iguais: x^2 cancela, hx cancela, x cancela; sobra apenas h. Portanto
f(x+h)-f(x)=\frac{h}{(x+h+1)(x+1)}.

Passo 5

Forme o quociente incremental dividindo por \displaystyle h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1}{(x+h+1)(x+1)},
pois o \displaystyle h do numerador foi cancelado com o \displaystyle h do denominador. Observação importante: esse cancelamento é o passo chave que nos permite eliminar o problema da divisão por zero quando tomamos o limite.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando \displaystyle h\to 0. Usamos a propriedade de continuidade das funções polinomiais e racionais (no ponto em que o denominador não é zero) para substituir h por 0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{(x+h+1)(x+1)}=\frac{1}{(x+1)(x+1)}=\frac{1}{(x+1)^2}.
Lembre-se: isso vale apenas quando o denominador não se anula, ou seja, para \displaystyle x\neq -1.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2},\quad x\neq -1

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