Questão 3: Calcule
pela definição, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada pela definição da função
.
Informações dadas: a expressão de é
. A tarefa é obter
usando a definição (limite do quociente incremental). Note que a função não está definida em
, então a derivada só pode existir para
.
Informações dadas: a expressão de
Passo 2
Vou usar a definição de derivada no ponto
. Explique o que isso significa: a derivada
é o limite quando um pequeno incremento
tende a zero do quociente entre a variação de
e
. A fórmula é
Aqui
representa um pequeno aumento em
; ao final fazemos
.
Passo 3
Calcule
. Substituímos
por
em
:
Agora escrevemos a diferença
:
Para somar/subtrair frações, colocamos em denominador comum:
Passo 4
Desenvolvemos as multiplicações no numerador passo a passo (não pule etapas):
Subtraindo:
Agora cancele termos iguais:
cancela,
cancela,
cancela; sobra apenas
. Portanto
Passo 5
Forme o quociente incremental dividindo por
:
pois o
do numerador foi cancelado com o
do denominador. Observação importante: esse cancelamento é o passo chave que nos permite eliminar o problema da divisão por zero quando tomamos o limite.
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
. Usamos a propriedade de continuidade das funções polinomiais e racionais (no ponto em que o denominador não é zero) para substituir
por
:
Lembre-se: isso vale apenas quando o denominador não se anula, ou seja, para
.