Questão 1: Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sqrt{x+3}}{2 x-1}=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to +\infty} \frac{x+\sqrt{x+3}}{2x-1}.
Informações dadas:
\text{numerador } = x+\sqrt{x+3},\qquad \text{denominador } = 2x-1,
e a variável tende a +\infty. A tarefa é encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Estratégia (explicada como se estivéssemos combinando forças antes da batalha): quando x\to+\infty termos polinomiais como x dominam termos de ordem menor como \sqrt{x}. Uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente (aqui é x) para ver claramente quais termos tendem a constantes e quais tendem a zero. Isso facilita aplicar propriedades básicas de limites.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x. Vou escrever isso isoladamente:
\frac{x+\sqrt{x+3}}{2x-1} = \frac{\dfrac{x}{x}+\dfrac{\sqrt{x+3}}{x}}{\dfrac{2x}{x}-\dfrac{1}{x}} = \frac{1+\dfrac{\sqrt{x+3}}{x}}{2-\dfrac{1}{x}}.

Passo 4

Agora analisamos o termo \dfrac{\sqrt{x+3}}{x}. Reescrevo esse termo para ver seu comportamento quando x\to+\infty:
\frac{\sqrt{x+3}}{x} = \frac{\sqrt{x}\,\sqrt{1+\tfrac{3}{x}}}{x} = \frac{\sqrt{1+\tfrac{3}{x}}}{\sqrt{x}}.
Explicando: usei a identidade \sqrt{x+3}=\sqrt{x}\sqrt{1+3/x}. Como \sqrt{x}/x = 1/\sqrt{x}, obtemos a forma acima.

Passo 5

Estudo o limite do fator \dfrac{\sqrt{1+\tfrac{3}{x}}}{\sqrt{x}} quando x\to+\infty. Observações úteis e intuitivas:
  • \sqrt{1+\tfrac{3}{x}}\to 1 quando x\to+\infty porque 3/x\to 0.
  • \dfrac{1}{\sqrt{x}}\to 0 quando x\to+\infty porque \sqrt{x}\to+\infty.
Produto de algo que tende a 1 por algo que tende a 0 tende a 0. Formalmente, como \sqrt{1+3/x} é limitada (por exemplo, para x\ge 1 temos 1\le \sqrt{1+3/x}\le 2), e \dfrac{1}{\sqrt{x}}\to 0, pelo teorema do aperto/produto concluímos
\frac{\sqrt{1+\tfrac{3}{x}}}{\sqrt{x}} \to 0.
Logo
\frac{\sqrt{x+3}}{x}\to 0\quad\text{quando }x\to+\infty.

Passo 6

Voltando à expressão do Passo 3 e usando o resultado anterior, temos:
\frac{1+\dfrac{\sqrt{x+3}}{x}}{2-\dfrac{1}{x}} \longrightarrow \frac{1+0}{2-0}=\frac{1}{2},
pois podemos aplicar as propriedades de limites (soma, produto e quociente, lembrando que o denominador tende a 2\neq 0).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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