Questão 1: Calcule os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
e a variável tende a
. A tarefa é encontrar o valor desse limite.
Passo 2
Estratégia (explicada como se estivéssemos combinando forças antes da batalha): quando
termos polinomiais como
dominam termos de ordem menor como
. Uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (aqui é
) para ver claramente quais termos tendem a constantes e quais tendem a zero. Isso facilita aplicar propriedades básicas de limites.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
. Vou escrever isso isoladamente:
Passo 4
Agora analisamos o termo
. Reescrevo esse termo para ver seu comportamento quando
:
Explicando: usei a identidade
. Como
, obtemos a forma acima.
Passo 5
Estudo o limite do fator
quando
. Observações úteis e intuitivas:
-
quando porque . -
quando porque .
Produto de algo que tende a
por algo que tende a
tende a
. Formalmente, como
é limitada (por exemplo, para
temos
), e
, pelo teorema do aperto/produto concluímos
Logo
Passo 6
Voltando à expressão do Passo 3 e usando o resultado anterior, temos:
pois podemos aplicar as propriedades de limites (soma, produto e quociente, lembrando que o denominador tende a
).