Utilizando o Teorema de Green, calcule a área das regiões
, onde:
Passo 1
O enunciado pede a área da região
dada por
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A região está dentro do círculo de raio
centrado na origem (pois ). - Há uma restrição vertical
, portanto é a “fatia vertical” do disco unitário entre as linhas e . - Os pontos de interseção do círculo com as retas que delimitam
são: - Para
: e . - Para
: .
- Para
- A região é simétrica em relação ao eixo
(útil para checar resultados).
O que se pede: calcular a área de
.
Passo 2
Vou usar um resultado que nos permite transformar a área de uma região em uma integral de linha ao longo da sua fronteira (isso é muito prático em provas). O enunciado pede “Utilizando o Teorema de Green”, então apresento a versão que precisamos:
O Teorema de Green afirma que, para uma região
com fronteira orientada positivamente (contra‑horário) e uma curva fechada
,
Para obter a área
podemos escolher
e
. Com essa escolha temos
e
, logo
Portanto, basta calcular a integral de linha
sobre a fronteira
de
, com orientação positiva (contra‑horário). Vou explicar e parametrizar
no passo seguinte.
Passo 3
Descrevendo a fronteira
de
e escolhendo uma orientação positiva (contra‑horário):
A fronteira
é formada por quatro trechos, ligados nessa ordem para dar uma curva fechada com interior à esquerda (orientação CCW):
-
: o segmento vertical em indo de até . Parametrização: vai de até . -
: o arco inferior do círculo unitário desde até . Parametrização usando o ângulo : com variando de até . -
: o segmento vertical em indo de até . Parametrização: vai de até . -
: o arco superior do círculo unitário desde até . Parametrização: com variando de até .
Verificação rápida de continuidade: os pontos finais e iniciais batem entre trechos (por exemplo,
termina em
, início de
;
termina em
, início de
; etc.).
Agora vamos calcular
somando as contribuições de
.
Passo 4
Cálculo do termo sobre
(segmento
,
).
Como
nesse trecho,
Passo 5
Cálculo do termo sobre
(segmento
,
).
Aqui
é constante igual a
, então
Passo 6
Cálculo das contribuições dos arcos
e
.
Parametrização do círculo unitário:
. Então
e
- Para
(arco inferior): vai de até , então
- Para
(arco superior): vai de até , então
Como
é função par (
), as duas integrais têm o mesmo valor (os intervalos são simétricos em relação a
em termos de magnitude). Logo a contribuição total dos dois arcos é
Agora vamos calcular a integral. Use a identidade
Portanto,
Avaliaremos de
até
:
Sabendo
e
, obtemos
Multiplicando por
para os dois arcos:
Passo 7
Somando as contribuições dos quatro trechos:
Substituindo os resultados:
Esse é o valor exato da área. (Se quiser checar numericamente:
e
, soma
, compatível com a integral direta em coordenadas cartesianas.)