Utilizando o Teorema de Green, calcule a área das regiões D, onde:
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1 \text { e } 0 \leq x \leq 1 / 2\right\}

Passo 1

O enunciado pede a área da região D dada por
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; x^{2}+y^{2}\le 1 \text{ e } 0\le x\le 1/2\}.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A região está dentro do círculo de raio 1 centrado na origem (pois x^{2}+y^{2}\le 1).
  • Há uma restrição vertical 0\le x\le 1/2, portanto D é a “fatia vertical” do disco unitário entre as linhas x=0 e x=1/2.
  • Os pontos de interseção do círculo com as retas que delimitam D são:
    • Para x=0: (0,1) e (0,-1).
    • Para x=1/2: \displaystyle\left(\tfrac{1}{2},\pm\sqrt{1-\tfrac{1}{4}}\right)=\left(\tfrac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
  • A região é simétrica em relação ao eixo x (útil para checar resultados).
O que se pede: calcular a área de D.

Passo 2

Vou usar um resultado que nos permite transformar a área de uma região em uma integral de linha ao longo da sua fronteira (isso é muito prático em provas). O enunciado pede “Utilizando o Teorema de Green”, então apresento a versão que precisamos:
O Teorema de Green afirma que, para uma região D com fronteira orientada positivamente (contra‑horário) e uma curva fechada C=\partial D,
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Para obter a área \text{Area}(D)=\iint_D 1\,dA podemos escolher P=0 e Q=x. Com essa escolha temos \partial Q/\partial x=1 e \partial P/\partial y=0, logo
\text{Area}(D)=\iint_{D}1\,dA=\oint_{C} x\,dy.
Portanto, basta calcular a integral de linha \displaystyle\oint_{C} x\,dy sobre a fronteira C de D, com orientação positiva (contra‑horário). Vou explicar e parametrizar C no passo seguinte.

Passo 3

Descrevendo a fronteira C de D e escolhendo uma orientação positiva (contra‑horário):
A fronteira C é formada por quatro trechos, ligados nessa ordem para dar uma curva fechada com interior à esquerda (orientação CCW):
  • C_1: o segmento vertical em x=0 indo de (0,1) até (0,-1). Parametrização: x=0,\; y=t,\; t vai de 1 até -1.
  • C_2: o arco inferior do círculo unitário desde (0,-1) até \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right). Parametrização usando o ângulo \theta: x=\cos\theta,\; y=\sin\theta com \theta variando de -\tfrac{\pi}{2} até -\tfrac{\pi}{3}.
  • C_3: o segmento vertical em x=\tfrac{1}{2} indo de \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) até \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right). Parametrização: x=\tfrac{1}{2},\; y=t,\; t vai de -\tfrac{\sqrt{3}}{2} até \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • C_4: o arco superior do círculo unitário desde \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) até (0,1). Parametrização: x=\cos\theta,\; y=\sin\theta com \theta variando de \tfrac{\pi}{3} até \tfrac{\pi}{2}.
Verificação rápida de continuidade: os pontos finais e iniciais batem entre trechos (por exemplo, C_1 termina em (0,-1), início de C_2; C_2 termina em (\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}), início de C_3; etc.).
Agora vamos calcular \oint_{C} x\,dy somando as contribuições de C_1,C_2,C_3,C_4.

Passo 4

Cálculo do termo sobre C_1 (segmento x=0, y:1\to -1).
Como x=0 nesse trecho,
\int_{C_1} x\,dy = \int_{t=1}^{-1} 0\cdot dt = 0.

Passo 5

Cálculo do termo sobre C_3 (segmento x=\tfrac{1}{2}, y:-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\to \tfrac{\sqrt{3}}{2}).
Aqui x é constante igual a \tfrac{1}{2}, então
\int_{C_3} x\,dy = \int_{y=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}^{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} \tfrac{1}{2}\,dy = \tfrac{1}{2}\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)\Bigr) = \tfrac{1}{2}\cdot \sqrt{3} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Cálculo das contribuições dos arcos C_2 e C_4.
Parametrização do círculo unitário: x=\cos\theta,\; y=\sin\theta. Então dy=\cos\theta\,d\theta e
x\,dy = \cos\theta\cdot(\cos\theta\,d\theta)=\cos^{2}\theta\,d\theta.
  • Para C_2 (arco inferior): \theta vai de -\tfrac{\pi}{2} até -\tfrac{\pi}{3}, então
\int_{C_2} x\,dy = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{-\tfrac{\pi}{3}} \cos^{2}\theta\,d\theta.
  • Para C_4 (arco superior): \theta vai de \tfrac{\pi}{3} até \tfrac{\pi}{2}, então
\int_{C_4} x\,dy = \int_{\tfrac{\pi}{3}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{2}\theta\,d\theta.
Como \cos^{2}\theta é função par ( \cos^{2}(-\theta)=\cos^{2}\theta), as duas integrais têm o mesmo valor (os intervalos são simétricos em relação a 0 em termos de magnitude). Logo a contribuição total dos dois arcos é
\int_{C_2} x\,dy + \int_{C_4} x\,dy = 2\int_{\tfrac{\pi}{3}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{2}\theta\,d\theta.
Agora vamos calcular a integral. Use a identidade
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}.
Portanto,
\int \cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int d\theta + \frac{1}{2}\int \cos 2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{1}{4}\sin 2\theta + C.
Avaliaremos de \theta=\tfrac{\pi}{3} até \tfrac{\pi}{2}:
\int_{\tfrac{\pi}{3}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{2}\theta\,d\theta = \Bigl[\frac{\theta}{2} + \frac{1}{4}\sin 2\theta\Bigr]_{\tfrac{\pi}{3}}^{\tfrac{\pi}{2}} = \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}\sin\pi\right) - \left(\frac{\pi}{6} + \frac{1}{4}\sin\frac{2\pi}{3}\right).
Sabendo \sin\pi=0 e \sin\frac{2\pi}{3}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
\int_{\tfrac{\pi}{3}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{\pi}{4} - \left(\frac{\pi}{6} + \frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{8}.
Multiplicando por 2 para os dois arcos:
\int_{C_2} x\,dy + \int_{C_4} x\,dy = 2\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{8}\right) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}.

Passo 7

Somando as contribuições dos quatro trechos:
\text{Area}(D) = \int_{C_1} x\,dy + \int_{C_2} x\,dy + \int_{C_3} x\,dy + \int_{C_4} x\,dy.
Substituindo os resultados:
\text{Area}(D) = 0 + \Bigl(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}\Bigr) + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4}.
Esse é o valor exato da área. (Se quiser checar numericamente: \pi/6\approx0,5236 e \sqrt{3}/4\approx0,4330, soma \approx0,9566, compatível com a integral direta em coordenadas cartesianas.)

Resposta

\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}

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