Questão 3. Calcule o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x, y, z) através da superfície \sigma, na direção da normal unitária exterior, onde \sigma é a fronteira do sólido B, nos seguntes casos:
\vec{F}(x, y, z)=x z \vec{i}+y z \vec{j}+z^{2} \vec{k} e B=\left\{(x, y, z) \in R^{3} / x^{2}+y^{2} \leq 4\right. e \left.0 \leq z \leq 2\right\}; CILINDRO

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=x z\,\mathbf{i}+y z\,\mathbf{j}+z^{2}\,\mathbf{k} através da superfície \sigma, que é a fronteira exterior do cilindro
B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}\le4,\;0\le z\le2\}.
Como a região é um sólido simples e fechado, vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss) para transformar o fluxo de superfície num integral triplo de \nabla\!\cdot\!\vec{F} sobre B.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec{F}:
\nabla\!\cdot\!\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x z)+\frac{\partial}{\partial y}(y z)+\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}) =z+z+2z =4z.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{B}(\nabla\!\cdot\!\vec{F})\,dV =\iiint_{B}4z\,dV.
Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), temos dV=r\,dr\,d\theta\,dz, com 0\le r\le2, 0\le\theta\le2\pi, 0\le z\le2.

Passo 4

Montamos e calculamos o integral:
\iiint_{B}4z\,dV =\int_{z=0}^{2}\!\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{2}4z\;r\,dr\,d\theta\,dz.
Primeiro em r:
\int_{0}^{2}r\,dr=\frac{2^{2}}{2}=2.
Depois em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
E por fim em z:
\int_{0}^{2}4z\,dz =4\;\frac{2^{2}}{2}=8.
Multiplicando tudo:
8\times2\times2\pi=32\pi.

Resposta

32\pi

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