[2.0 pt ] A parte da superfície
z=\frac{h}{a} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \quad(a, h>0)
entre o plano x y e plano z=h é um cone circular reto de altura h e raio a. Use uma integral de superfície para mostrar que a área da superfície lateral desse cone é A=\pi a \sqrt{a^{2}+h^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a área lateral do cone definido por
z=\frac{h}{a}\sqrt{x^2+y^2},\quad 0\le z\le h,
isto é, o gráfico dessa função sobre o disco x^2+y^2\le a^2. O conteúdo é cálculo de área de superfície via parametrização ou via fórmula do gráfico. Vamos usar parametrização em coordenadas polares.

Passo 2

Parametrizamos a superfície por
\mathbf{X}(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;\tfrac{h}{a}\,r\bigr),
com 0\le r\le a, 0\le\theta\le2\pi. Nesse caso a área é
A=\iint_{D}\bigl\|\mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta\bigr\|\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\mathbf{X}_r=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;\tfrac{h}{a}), \qquad \mathbf{X}_\theta=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).
O produto vetorial é
\mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta =\bigl(-\tfrac{h}{a}r\cos\theta,\;- \tfrac{h}{a}r\sin\theta,\;r\bigr),
cuja norma vale
\bigl\|\mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta\bigr\| =\sqrt{\Bigl(\tfrac{h}{a}r\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{h}{a}r\Bigr)^2+r^2} =\sqrt{\frac{h^2}{a^2}r^2+r^2} =\frac{\sqrt{a^2+h^2}}{a}\;r.

Passo 4

Agora integramos em r e \theta:
A =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a}\frac{\sqrt{a^2+h^2}}{a}\,r\;dr\,d\theta =\frac{\sqrt{a^2+h^2}}{a} \Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{a}r\,dr\Bigr).
Como \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi e \int_{0}^{a}r\,dr=\tfrac{a^2}{2}, segue
A =\frac{\sqrt{a^2+h^2}}{a}\cdot2\pi\cdot\frac{a^2}{2} =\pi\,a\,\sqrt{a^2+h^2}.

Resposta

A=\pi\,a\,\sqrt{a^2+h^2}.

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