entre o plano x y e plano z=h é um cone circular reto de altura h e raio a. Use uma integral de superfície para mostrar que a área da superfície lateral desse cone é A=\pi a \sqrt{a^{2}+h^{2}}.
Passo 1
O enunciado pede a área lateral do cone definido por
z=\frac{h}{a}\sqrt{x^2+y^2},\quad 0\le z\le h,
isto é, o gráfico dessa função sobre o disco x^2+y^2\le a^2. O conteúdo é cálculo de área de superfície via parametrização ou via fórmula do gráfico. Vamos usar parametrização em coordenadas polares.
A =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a}\frac{\sqrt{a^2+h^2}}{a}\,r\;dr\,d\theta =\frac{\sqrt{a^2+h^2}}{a} \Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{a}r\,dr\Bigr).
Como \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi e \int_{0}^{a}r\,dr=\tfrac{a^2}{2}, segue
A =\frac{\sqrt{a^2+h^2}}{a}\cdot2\pi\cdot\frac{a^2}{2} =\pi\,a\,\sqrt{a^2+h^2}.