[2.0 pt] Determine o fluxo do campo vetorial
é a superfície do sólido limitado por
e
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
pela superfície fechada
que limita o sólido
determinado por
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, que nos permite trocar o fluxo pela integral tripla do divergente sobre
.
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência,
Para parametrizar
, observamos que em cada
o
varia de
até o mínimo entre
e
. A curva de interseção dessas duas superfícies é
Assim, projetamos
no plano
com
e
, mas precisamos dividir em duas partes conforme qual superfície dá o teto em
.
Passo 4
Dividimos
em
- Região A:
, onde o teto é . - Região B:
, onde o teto é .
Em ambas,começa em . Logo
Passo 5
Em cada parte integramos primeiro em
:
- Região A:
depois em
:
e por fim em
, expandindo
.
- Região B:
depois se integra em
. Em ambos os casos a simetria faz reduzir a integral a duas vezes de
a
de um polinômio par, e a soma resulta em