[2.0 pt] Determine o fluxo do campo vetorial \mathbf{F}(x, y, z)=x^{3} \mathbf{i}+x^{2} y \mathbf{j}+x y \mathbf{k} ; S é a superfície do sólido limitado por z=4-x^{2}, y+z=5, z=0 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}(x,y,z)=x^3\mathbf{i}+x^2y\mathbf{j}+xy\mathbf{k} pela superfície fechada S que limita o sólido V determinado por
z=4-x^2,\quad y+z=5,\quad z=0,\quad y=0.
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, que nos permite trocar o fluxo pela integral tripla do divergente sobre V.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}:
\div \mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^3) +\frac{\partial}{\partial y}(x^2y) +\frac{\partial}{\partial z}(xy) =3x^2 + x^2 + 0 =4x^2.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{V} \div \mathbf{F}\,dV =\iiint_{V}4x^2\,dV.
Para parametrizar V, observamos que em cada (x,y) o z varia de 0 até o mínimo entre 4-x^2 e 5-y. A curva de interseção dessas duas superfícies é
4-x^2 = 5-y \quad\Longrightarrow\quad y = 1 + x^2.
Assim, projetamos V no plano xy com -2\le x\le2 e 0\le y\le5, mas precisamos dividir em duas partes conforme qual superfície dá o teto em z.

Passo 4

Dividimos V em
  1. Região A: 0\le y\le 1+x^2, onde o teto é z=4-x^2.
  2. Região B: 1+x^2\le y\le5, onde o teto é z=5-y.
    Em ambas, z começa em 0. Logo
\iiint_{V}4x^2\,dV =\int_{x=-2}^{2}\int_{y=0}^{1+x^2}\int_{z=0}^{4-x^2}4x^2\,dz\,dy\,dx +\int_{x=-2}^{2}\int_{y=1+x^2}^{5}\int_{z=0}^{5-y}4x^2\,dz\,dy\,dx.

Passo 5

Em cada parte integramos primeiro em z:
  • Região A:
\int_{0}^{4-x^2}4x^2\,dz =4x^2\,(4-x^2),
depois em y:
\int_{y=0}^{1+x^2}4x^2(4-x^2)\,dy =4x^2(4-x^2)(1+x^2),
e por fim em x, expandindo (4-x^2)(1+x^2)=4+3x^2-x^4.
  • Região B:
\int_{0}^{5-y}4x^2\,dz =4x^2(5-y),
\int_{y=1+x^2}^{5}4x^2(5-y)\,dy =4x^2\,\frac{(16-8x^2+x^4)}{2} =2x^2(16-8x^2+x^4),
depois se integra em x. Em ambos os casos a simetria faz reduzir a integral a duas vezes de 0 a 2 de um polinômio par, e a soma resulta em
\iiint_{V}4x^2\,dV =\frac{4608}{35}.

Resposta

\frac{4608}{35}.

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