Questão 4.
(2.5 pt) Calcule
onde
e
é a superfície fronteira da região
orientada para fora. O uso do Teorema da Divergência é obrigatório.
(2.5 pt) Calcule
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o fluxo
onde
e
são dadas.
Informações dadas pelo enunciado:
A superfície
é a fronteira da região
orientada para fora.
O enunciado exige explicitamente o uso do Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss). Não há mais perguntas separadas: apenas calcular o fluxo indicado.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (uso obrigatório do Teorema da Divergência).
O Teorema da Divergência afirma, para um campo vetorial
de classe
num volume
com fronteira
orientada para fora:
Aqui devemos usar esse teorema. Primeiro verificamos que
é composto por funções polinomiais, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas combinadas com polinômios; todas são
no domínio considerado (note que
é bem definida e suavemente diferenciável para todos
). Portanto as hipóteses do teorema se aplicam e podemos transformar o fluxo de superfície numa integral tripla do divergente sobre
.
Passo 3
Cálculo do divergente
.
Pelo definição,
Calculamos termo a termo:
-
porque não depende de . -
porque não depende de . -
porque não depende de .
Portanto
Passo 4
Expressão da integral tripla pelo Teorema da Divergência e limites de integração.
Pelo Teorema da Divergência:
A região
tem limites simples:
,
e
. Tomamos a ordem de integração
. Assim:
Vamos dividir a integral em três parcelas correspondentes a
,
e
:
e calcular cada uma.
Passo 5
Cálculo de
.
Integramos em
primeiro (note que
não depende de
):
Para cada
fixo,
pois
(função ímpar). Logo
Portanto
. Intuição: a parte em
cancela por simetria.
Passo 6
Cálculo de
.
Novamente integrar em
primeiro:
Para cada
fixo separamos:
O primeiro termo é zero pois
. O segundo termo é
pois
.
Agora integramos em
:
Portanto
.
Passo 7
Cálculo de
.
Integramos em
primeiro:
Logo
Expandimos o quadrado:
Assim
Integramos em
e usamos simetrias (termos com potências ímpares de
dão zero):
Portanto a integral em
resulta em
. Multiplicando por
:
Agora integramos em
:
Somando:
Passo 8
Somando as três parcelas
obtemos o fluxo total:
Colocando em denominador comum
:
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