\_\_\_\_ Questão 4. \_\_\_\_
(2.5 pt) Calcule
\iint_{S} \vec{F} \cdot d \vec{S},
onde
\vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2}+e^{y} \cos \left(z y^{3}\right), y^{2}+e^{x} \ln \left(1+x^{2}+z^{2}\right), 2 z^{2}+x^{3} e^{\operatorname{sen}(3 y)}\right),
e S é a superfície fronteira da região E=\left\{(x, y, z) ;|x| \leq 1,|y| \leq 1,0 \leq z \leq 5-x^{2} y^{3}\right\} orientada para fora. O uso do Teorema da Divergência é obrigatório.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o fluxo
\iint_{S} \vec{F}\cdot d\vec{S}
onde \vec{F} e S são dadas.
Informações dadas pelo enunciado:
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(x^{2}+e^{y}\cos(zy^{3}),\;y^{2}+e^{x}\ln(1+x^{2}+z^{2}),\;2z^{2}+x^{3}e^{\operatorname{sen}(3y)}\bigr).
A superfície S é a fronteira da região
E=\{(x,y,z)\mid |x|\le 1,\;|y|\le 1,\;0\le z\le 5-x^{2}y^{3}\},
orientada para fora.
O enunciado exige explicitamente o uso do Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss). Não há mais perguntas separadas: apenas calcular o fluxo indicado.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (uso obrigatório do Teorema da Divergência).
O Teorema da Divergência afirma, para um campo vetorial \vec{F} de classe C^{1} num volume E com fronteira S orientada para fora:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{E} \nabla\cdot\vec{F}\,dV.
Aqui devemos usar esse teorema. Primeiro verificamos que \vec{F} é composto por funções polinomiais, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas combinadas com polinômios; todas são C^{1} no domínio considerado (note que \ln(1+x^{2}+z^{2}) é bem definida e suavemente diferenciável para todos x,z). Portanto as hipóteses do teorema se aplicam e podemos transformar o fluxo de superfície numa integral tripla do divergente sobre E.

Passo 3

Cálculo do divergente \nabla\cdot\vec{F}.
Pelo definição,
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+e^{y}\cos(zy^{3})\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}+e^{x}\ln(1+x^{2}+z^{2})\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(2z^{2}+x^{3}e^{\operatorname{sen}(3y)}\bigr).
Calculamos termo a termo:
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+e^{y}\cos(zy^{3})\bigr)=2x+0=2x, porque e^{y}\cos(zy^{3}) não depende de x.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}+e^{x}\ln(1+x^{2}+z^{2})\bigr)=2y+0=2y, porque e^{x}\ln(1+x^{2}+z^{2}) não depende de y.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}\bigl(2z^{2}+x^{3}e^{\operatorname{sen}(3y)}\bigr)=4z+0=4z, porque x^{3}e^{\operatorname{sen}(3y)} não depende de z.
Portanto
\nabla\cdot\vec{F}=2x+2y+4z.

Passo 4

Expressão da integral tripla pelo Teorema da Divergência e limites de integração.
Pelo Teorema da Divergência:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{E} (2x+2y+4z)\,dV.
A região E tem limites simples: -1\le x\le 1, -1\le y\le 1 e 0\le z\le 5-x^{2}y^{3}. Tomamos a ordem de integração dz\,dy\,dx. Assim:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-1}^{1}\int_{z=0}^{5-x^{2}y^{3}}(2x+2y+4z)\,dz\,dy\,dx.
Vamos dividir a integral em três parcelas correspondentes a 2x, 2y e 4z:
I_1=\iiint_{E}2x\,dV,\qquad I_2=\iiint_{E}2y\,dV,\qquad I_3=\iiint_{E}4z\,dV,
e calcular cada uma.

Passo 5

Cálculo de I_1=\iiint_{E}2x\,dV.
Integramos em z primeiro (note que 2x não depende de z):
I_1=\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-1}^{1} 2x\bigl(5-x^{2}y^{3}\bigr)\,dy\,dx.
Para cada x fixo,
\int_{y=-1}^{1}\bigl(5-x^{2}y^{3}\bigr)\,dy=5\cdot 2 - x^{2}\int_{-1}^{1}y^{3}\,dy=10 - x^{2}\cdot 0=10,
pois \int_{-1}^{1}y^{3}\,dy=0 (função ímpar). Logo
I_1=\int_{-1}^{1}2x\cdot 10\,dx=20\int_{-1}^{1}x\,dx=20\cdot 0=0.
Portanto I_1=0. Intuição: a parte em x cancela por simetria.

Passo 6

Cálculo de I_2=\iiint_{E}2y\,dV.
Novamente integrar em z primeiro:
I_2=\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-1}^{1}2y\bigl(5-x^{2}y^{3}\bigr)\,dy\,dx.
Para cada x fixo separamos:
\int_{y=-1}^{1}2y\cdot 5\,dy - \int_{y=-1}^{1}2y\cdot x^{2}y^{3}\,dy =10\int_{-1}^{1}y\,dy - 2x^{2}\int_{-1}^{1}y^{4}\,dy.
O primeiro termo é zero pois \int_{-1}^{1}y\,dy=0. O segundo termo é
-2x^{2}\int_{-1}^{1}y^{4}\,dy=-2x^{2}\cdot\frac{2}{5}=-\frac{4}{5}x^{2},
pois \displaystyle\int_{-1}^{1}y^{4}\,dy=\frac{2}{5}.
Agora integramos em x:
I_2=\int_{-1}^{1}\Bigl(-\frac{4}{5}x^{2}\Bigr)\,dx=-\frac{4}{5}\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx =-\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}=-\frac{8}{15}.
Portanto I_2=-\dfrac{8}{15}.

Passo 7

Cálculo de I_3=\iiint_{E}4z\,dV.
Integramos em z primeiro:
\int_{z=0}^{5-x^{2}y^{3}}4z\,dz=4\cdot\frac{1}{2}\bigl(5-x^{2}y^{3}\bigr)^{2}=2\bigl(5-x^{2}y^{3}\bigr)^{2}.
Logo
I_3= \int_{x=-1}^{1}\int_{y=-1}^{1}2\bigl(5-x^{2}y^{3}\bigr)^{2}\,dy\,dx.
Expandimos o quadrado:
\bigl(5-x^{2}y^{3}\bigr)^{2}=25-10x^{2}y^{3}+x^{4}y^{6}.
Assim
I_3=2\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-1}^{1}\bigl(25-10x^{2}y^{3}+x^{4}y^{6}\bigr)\,dy\,dx.
Integramos em y e usamos simetrias (termos com potências ímpares de y dão zero):
\int_{-1}^{1}25\,dy=50,\qquad \int_{-1}^{1}-10x^{2}y^{3}\,dy= -10x^{2}\cdot 0=0,
\int_{-1}^{1}x^{4}y^{6}\,dy = x^{4}\int_{-1}^{1}y^{6}\,dy = x^{4}\cdot\frac{2}{7}.
Portanto a integral em y resulta em 50 + \dfrac{2}{7}x^{4}. Multiplicando por 2:
I_3=\int_{-1}^{1}\Bigl(100+\frac{4}{7}x^{4}\Bigr)\,dx.
Agora integramos em x:
\int_{-1}^{1}100\,dx=200,\qquad \int_{-1}^{1}\frac{4}{7}x^{4}\,dx=\frac{4}{7}\cdot\frac{2}{5}=\frac{8}{35}.
Somando:
I_3=200+\frac{8}{35}=\frac{7008}{35}.

Passo 8

Somando as três parcelas I_1+I_2+I_3 obtemos o fluxo total:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=I_1+I_2+I_3=0-\frac{8}{15}+\frac{7008}{35}.
Colocando em denominador comum 105:
-\frac{8}{15}=-\frac{56}{105},\qquad \frac{7008}{35}=\frac{21024}{105},
logo
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\frac{21024-56}{105}=\frac{20968}{105}.

Resposta

\dfrac{20968}{105}

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