Questão 2.
(2.5 pt) Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e contida no semi-espaço
. Calcule a integral
.
Dica: Parametrize a superfície como um gráfico de função da forma
e depois use coordenadas polares.
(2.5 pt) Seja
Dica: Parametrize a superfície como um gráfico de função da forma
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
é a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e contida no semi-espaço
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Passo 2
Escolha da parametrização sugerida: escrever a superfície como gráfico da forma
. Neste caso, a parte da esfera com
é bem escrita como
definida no disco
Explicação do porquê: representar a superfície como
permite transformar a integral de superfície em uma integral dupla sobre o domínio
no plano
, usando a fórmula do elemento de área para um gráfico.
Passo 3
Fórmula do elemento de área para um gráfico
:
Se uma superfície é dada por
com
variando em
, então o elemento de área é
Explicação didática: a fórmula vem de calcular os vetores tangentes
e
, formar o produto vetorial e tirar a norma; o resultado é essa raiz quadrada que mede estiramento da área do plano
para a superfície.
Agora aplicamos à nossa função
. Calculamos as derivadas parciais (mostrando cada passo):
De modo análogo,
Passo 4
Substituímos essas derivadas na fórmula de
:
Logo
Passo 5
Montagem da integral. Como
, o integrando
fica
Observação importante (muito útil na prova): houve um cancelamento elegante—o fator
do
cancela o denominador de
, deixando uma constante. Isso simplifica tudo.
Assim a integral sobre
reduz-se à integral dupla sobre o disco
:
Passo 6
Troca para coordenadas polares no plano
. Definimos
com
e
, porque
é o disco de raio
. O elemento de área no plano é
(esta é a jacobiana das coordenadas polares — pense que estreitamente cada pequeno retângulo vira um anel com comprimento
).
Substituindo:
Passo 7
Calculamos a integral iterada: