(2.5 pt) Calcule \iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot d \vec{S}, onde \vec{F}(x, y, z)=y^{3} z^{2} \vec{i}+x^{3} e^{x^{2}+y^{2}-2} \vec{j}+e^{x y^{2} z} \vec{k}, e S é a superfície formada pela união do cilindro x^{2}+y^{2}=2, \operatorname{com}-1 \leq z \leq 1 (orientado para fora) com o disco x^{2}+y^{2} \leq 2 contido no plano z=1 (orientado para cima). O uso do Teorema de Stokes é obrigatório.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule \iint_{S} \operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S}, onde
e S é a superfície formada pela união do cilindro \,x^{2}+y^{2}=2,\,-1\le z\le 1 (orientado para fora) com o disco \,x^{2}+y^{2}\le2 no plano z=1 (orientado para cima). O uso do Teorema de Stokes é obrigatório. \n
Informações dadas relevantes: \; \vec{F} está explicitada; \; S= lateral do cilindro (externa) \cup disco superior; \; orientações: cilindro para fora e disco para cima. \n
Pergunta: calcular o fluxo de \operatorname{rot}\vec{F} através de S, ou seja \iint_{S}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S}.
Passo 2
Vou aplicar o Teorema de Stokes. Primeiro lembro o enunciado e a ideia por trás dele: \n
O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada S com contorno \partial S,
Aqui \operatorname{rot}\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F}, e \partial S é a curva-origem do contorno de S orientada de acordo com a regra da mão direita (a orientação da curva é induzida pela orientação da superfície). Vou então identificar \partial S e sua orientação induzida pelas orientações dadas das partes de S.
Passo 3
Identificação de \partial S. A superfície S é a lateral do cilindro mais o disco superior. Essas duas peças se encontram ao longo do círculo superior x^{2}+y^{2}=2,\,z=1; esse contorno comum é uma “aresta interna” e, pelas orientações dadas (cilindro para fora e disco para cima), essa aresta interna se cancela (as orientações nas duas peças ao longo dessa aresta ficam opostas), ficando como contorno da união apenas o círculo inferior
C:\quad x^{2}+y^{2}=2,\quad z=-1.
Logo \partial S=C, o círculo na altura z=-1. Resta determinar a orientação de C induzida por S. \n
Para decidir o sentido, paramestro a lateral do cilindro da forma
O produto vetorial \vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{z}=(\sqrt{2}\cos\theta,\;\sqrt{2}\sin\theta,\,0) aponta radialmente para fora, então esta parametrização dá a orientação “para fora” desejada. O domínio paramétrico é o retângulo [0,2\pi]\times[-1,1]; a borda superior do domínio (z=1) corresponde a \theta aumentando de 0 a 2\pi, enquanto a borda inferior (z=-1) corresponde a \theta diminuindo de 2\pi a 0. Portanto a curva C (borda inferior) é percorrida com \theta decrescente, isto é, no sentido horário quando vista de cima. Em outras palavras, a orientação de \partial S=C é o sentido horário visto do eixo +z. \n
Como conveniência, usarei a parametrização padrão no sentido anti-horário (CCW) e depois aplico um sinal negativo: \oint_{C_{\text{horário}}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=-\oint_{C_{\text{CCW}}}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Passo 4
Expressão do integral de linha sobre C. No círculo C temos z=-1 e x^{2}+y^{2}=2. Avalio \vec{F} em z=-1: