Questão 3.

(2.5 pt) Calcule \iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot d \vec{S}, onde \vec{F}(x, y, z)=y^{3} z^{2} \vec{i}+x^{3} e^{x^{2}+y^{2}-2} \vec{j}+e^{x y^{2} z} \vec{k}, e S é a superfície formada pela união do cilindro x^{2}+y^{2}=2, \operatorname{com}-1 \leq z \leq 1 (orientado para fora) com o disco x^{2}+y^{2} \leq 2 contido no plano z=1 (orientado para cima). O uso do Teorema de Stokes é obrigatório.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule \iint_{S} \operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S}, onde
\vec{F}(x,y,z)=y^{3}z^{2}\,\vec{i}+x^{3}e^{x^{2}+y^{2}-2}\,\vec{j}+e^{x y^{2} z}\,\vec{k},
e S é a superfície formada pela união do cilindro \,x^{2}+y^{2}=2,\,-1\le z\le 1 (orientado para fora) com o disco \,x^{2}+y^{2}\le2 no plano z=1 (orientado para cima). O uso do Teorema de Stokes é obrigatório. \n
Informações dadas relevantes:
\; \vec{F} está explicitada; \; S= lateral do cilindro (externa) \cup disco superior; \; orientações: cilindro para fora e disco para cima. \n
Pergunta: calcular o fluxo de \operatorname{rot}\vec{F} através de S, ou seja \iint_{S}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S}.

Passo 2

Vou aplicar o Teorema de Stokes. Primeiro lembro o enunciado e a ideia por trás dele: \n
O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada S com contorno \partial S,
\iint_{S}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Aqui \operatorname{rot}\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F}, e \partial S é a curva-origem do contorno de S orientada de acordo com a regra da mão direita (a orientação da curva é induzida pela orientação da superfície). Vou então identificar \partial S e sua orientação induzida pelas orientações dadas das partes de S.

Passo 3

Identificação de \partial S. A superfície S é a lateral do cilindro mais o disco superior. Essas duas peças se encontram ao longo do círculo superior x^{2}+y^{2}=2,\,z=1; esse contorno comum é uma “aresta interna” e, pelas orientações dadas (cilindro para fora e disco para cima), essa aresta interna se cancela (as orientações nas duas peças ao longo dessa aresta ficam opostas), ficando como contorno da união apenas o círculo inferior
C:\quad x^{2}+y^{2}=2,\quad z=-1.
Logo \partial S=C, o círculo na altura z=-1. Resta determinar a orientação de C induzida por S. \n
Para decidir o sentido, paramestro a lateral do cilindro da forma
\vec{r}(\theta,z)=\big(\sqrt{2}\cos\theta,\;\sqrt{2}\sin\theta,\;z\big),\qquad 0\le\theta\le2\pi,\;-1\le z\le1.
Calculo os vetores de base:
\vec{r}_{\theta}=(-\sqrt{2}\sin\theta,\;\sqrt{2}\cos\theta,\,0),\qquad \vec{r}_{z}=(0,0,1).
O produto vetorial \vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{z}=(\sqrt{2}\cos\theta,\;\sqrt{2}\sin\theta,\,0) aponta radialmente para fora, então esta parametrização dá a orientação “para fora” desejada. O domínio paramétrico é o retângulo [0,2\pi]\times[-1,1]; a borda superior do domínio (z=1) corresponde a \theta aumentando de 0 a 2\pi, enquanto a borda inferior (z=-1) corresponde a \theta diminuindo de 2\pi a 0. Portanto a curva C (borda inferior) é percorrida com \theta decrescente, isto é, no sentido horário quando vista de cima. Em outras palavras, a orientação de \partial S=C é o sentido horário visto do eixo +z. \n
Como conveniência, usarei a parametrização padrão no sentido anti-horário (CCW) e depois aplico um sinal negativo: \oint_{C_{\text{horário}}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=-\oint_{C_{\text{CCW}}}\vec{F}\cdot d\vec{r}á.

Passo 4

Expressão do integral de linha sobre C. No círculo C temos z=-1 e x^{2}+y^{2}=2. Avalio \vec{F} em z=-1:
\vec{F}\big|_{z=-1}=\big(y^{3}(-1)^{2},\;x^{3}e^{x^{2}+y^{2}-2},\;e^{x y^{2}(-1)}\big) =\big(y^{3},\;x^{3}e^{x^{2}+y^{2}-2},\;e^{-x y^{2}}\big).
Mas sobre o círculo x^{2}+y^{2}=2 o expoente x^{2}+y^{2}-2 vale zero, logo e^{x^{2}+y^{2}-2}=1. Assim, na curva C
\vec{F}=(y^{3},\;x^{3},\;e^{-x y^{2}}).
A diferencial de arco é d\vec{r}=(dx,dy,dz) e como z é constante ( dz=0) temos
\vec{F}\cdot d\vec{r}=y^{3}\,dx + x^{3}\,dy + e^{-x y^{2}}\cdot 0 = y^{3}\,dx + x^{3}\,dy.
Portanto
\iint_{S}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\oint_{C_{\text{horário}}}\vec{F}\cdot d\vec{r} =-\oint_{C_{\text{CCW}}}\big(y^{3}\,dx + x^{3}\,dy\big).á

Passo 5

Parametrizo o círculo no sentido CCW (padrão) por
x=\sqrt{2}\cos t,\qquad y=\sqrt{2}\sin t,\qquad z=-1,\qquad t\in[0,2\pi].
Então
dx=-\sqrt{2}\sin t\,dt,\qquad dy=\sqrt{2}\cos t\,dt.
Calculo os termos:
y^{3}\,dx = (\sqrt{2}\sin t)^{3}\cdot(-\sqrt{2}\sin t\,dt) = -4\sin^{4}t\,dt,
x^{3}\,dy = (\sqrt{2}\cos t)^{3}\cdot(\sqrt{2}\cos t\,dt) = 4\cos^{4}t\,dt.
Somando:
y^{3}\,dx + x^{3}\,dy = 4(\cos^{4}t-\sin^{4}t)\,dt.
Uso a identidade \cos^{4}t-\sin^{4}t=(\cos^{2}t-\sin^{2}t)(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=\cos2t. Assim o integrando fica 4\cos2t. Então
\oint_{C_{\text{CCW}}}\big(y^{3}\,dx + x^{3}\,dy\big) =\int_{0}^{2\pi}4\cos2t\,dt =4\left[\tfrac{1}{2}\sin2t\right]_{0}^{2\pi} =2(\sin4\pi-\sin0)=0.

Passo 6

Voltando ao sinal da orientação: a integral no sentido horário é o negativo da integral CCW, mas como a integral CCW deu 0 temos
\oint_{C_{\text{horário}}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=-0=0.á
Pelo Teorema de Stokes segue que
\iint_{S}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S}=0.

Resposta

0

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