Questāo 1. Calcule \int_{\alpha} 2 d x-y d y, em que \alpha é o traço de uma curva contída no conjunto x^{2}+y^{2}=4, com x \geq 0 e y \geq 0, saindo do ponto (0,2) para o ponto (2,0).

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \int_{\alpha}2\,dx - y\,dy
onde \alpha é o arco de circunferência x^{2}+y^{2}=4 no primeiro quadrante, indo de (0,2) a (2,0). O conteúdo aqui é integral de linha de uma 1-forma diferencial e vamos usar o teste de exatidão para simplificar.

Passo 2

Escrevemos a 1-forma como P\,dx + Q\,dy com
P(x,y)=2, \quad Q(x,y)=-y.
Calculamos \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=0
e \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=0.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, a forma é exata num domínio simplesmente conexo.

Passo 3

Procuramos uma função potencial f(x,y) tal que \partial f/\partial x=P e \partial f/\partial y=Q.
Integrando \partial f/\partial x=2 em x, vem
f(x,y)=2x+h(y).
Como \partial f/\partial y=-y, temos h'(y)=-y e, integrando,
h(y)=-\frac{y^2}{2}.
Portanto
f(x,y)=2x-\frac{y^2}{2}.

Passo 4

A integral ao longo de \alpha vale
\int_{\alpha}2\,dx - y\,dy =f\bigl(2,0\bigr)-f\bigl(0,2\bigr) =\Bigl(2\cdot2-\tfrac{0^2}{2}\Bigr) -\Bigl(2\cdot0-\tfrac{2^2}{2}\Bigr) =4-(-2)=6.

Resposta

6

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