(a) (1,0) Encontre y^{\prime} derivando implicitamente a equação x y^{2}=x^{2} \operatorname{sen} y.
(b) (0,5) Determine o valor de y^{\prime} no ponto \left(\frac{\pi^{2}}{4}, \frac{\pi}{2}\right).
(c) (0,5) Determine a reta tangente à curva dada no item (a) no ponto dac item (b).

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
x\,y^{2} = x^{2}\,\sin y
e pede (a) a derivada y' usando diferenciação implícita, (b) o valor de y' em \bigl(x,y\bigr) = \bigl(\tfrac{\pi^{2}}{4},\tfrac{\pi}{2}\bigr) e (c) a reta tangente nesse mesmo ponto. Para isso vamos usar a regra do produto, a regra da cadeia e a derivada de \sin y.

Passo 2

Derivando os dois lados em relação a x:
– Lado esquerdo \,x\,y^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y^{2}\bigr) = 1\cdot y^{2} + x\cdot 2y\,y' = y^{2} + 2x\,y\,y'.
– Lado direito \,x^{2}\sin y:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\sin y\bigr) = 2x\,\sin y + x^{2}\,\cos y\cdot y'.
Igualando as derivadas:
y^{2} + 2x\,y\,y' = 2x\,\sin y + x^{2}\cos y\,y'.
Agora agrupamos os termos com y':
2x\,y\,y' - x^{2}\cos y\,y' = 2x\,\sin y - y^{2},
y'\,\bigl(2x\,y - x^{2}\cos y\bigr) = 2x\,\sin y - y^{2}.
Logo
\boxed{y' = \frac{2x\,\sin y - y^{2}}{2x\,y - x^{2}\cos y}}.

Passo 3

Substituindo x = \tfrac{\pi^{2}}{4} e y = \tfrac{\pi}{2}:
– Numerador:
2x\,\sin y - y^{2} = 2\cdot\frac{\pi^{2}}{4}\cdot1 \;-\;\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)^{2} = \frac{\pi^{2}}{2} - \frac{\pi^{2}}{4} = \frac{\pi^{2}}{4}.
– Denominador (lembre \cos(\tfrac{\pi}{2})=0):
2x\,y - x^{2}\cos y = 2\cdot\frac{\pi^{2}}{4}\cdot\frac{\pi}{2} - \bigl(\tfrac{\pi^{2}}{4}\bigr)^{2}\! \cdot 0 = \frac{\pi^{3}}{4}.
Portanto
\boxed{y'\bigl(\tfrac{\pi^{2}}{4},\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \frac{\pi^{2}/4}{\pi^{3}/4} = \frac{1}{\pi}}.

Passo 4

A reta tangente em \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) é
y - y_{0} = y'(x_{0},y_{0})\,\bigl(x - x_{0}\bigr).
Com x_{0}=\tfrac{\pi^{2}}{4}, y_{0}=\tfrac{\pi}{2} e inclinação m=1/\pi, temos
\boxed{y - \frac{\pi}{2} = \frac{1}{\pi}\Bigl(x - \frac{\pi^{2}}{4}\Bigr)}.

Resposta

(a) \displaystyle y'=\frac{2x\sin y - y^{2}}{2x\,y - x^{2}\cos y}.
(b) \displaystyle y'\bigl(\tfrac{\pi^{2}}{4},\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\tfrac{1}{\pi}.
(c) \displaystyle y-\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{1}{\pi}\bigl(x-\tfrac{\pi^{2}}{4}\bigr).

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