Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \sqrt{x}-1}{3 x-1}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{x\sqrt{x}-1}{3x-1}.
Trata-se de uma indeterminação do tipo \tfrac{\infty}{\infty}, então vamos usar o método de fatorar a maior potência de x.

Passo 2

Fatoramos x no numerador e no denominador:
\frac{x\sqrt{x}-1}{3x-1} = \frac{x\bigl(\sqrt{x}-\tfrac{1}{x}\bigr)}{x\bigl(3-\tfrac{1}{x}\bigr)}.

Passo 3

Cancelamos o fator x (válido para x\neq0) e obtemos
\frac{\sqrt{x}-\tfrac{1}{x}}{3-\tfrac{1}{x}}.
À medida que x\to+\infty, temos \sqrt{x}\to+\infty e \tfrac1x\to0, e o denominador tende a 3. Portanto a fração cresce sem limite finito.

Passo 4

Concluímos que o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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