Questão 4:
Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, sendo C a porção de \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1, y \geq 0, horária e
\vec{F}=\left(17 x y+3 x^{4},\left(27+5 y^{6}\right)^{1 / 3}+2 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r} onde:
  • C é a porção da elipse \dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 com y\ge 0 (ou seja, a semicircunferência superior da elipse), percorrida no sentido horária.
  • A campo vetorial é \displaystyle \vec{F}=(P,Q) com P(x,y)=17xy+3x^{4},\qquad Q(x,y)=\bigl(27+5y^{6}\bigr)^{1/3}+2x^{2}.
O que se pede: calcular \displaystyle \int_{C} P\,dx+Q\,dy ao longo dessa curva orientada horariamente.

Passo 2

Escolha do método. Primeiro verifico se \vec{F} é conservativo (pois aí a integral de linha ao longo de uma curva entre dois pontos dependeria só dos extremos). Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=17x, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=4x.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}\neq\dfrac{\partial Q}{\partial x} (a menos de x=0), \vec{F} não é conservativo globalmente. Então o caminho mais direto é parametrizar a elipse e calcular diretamente \int_C P\,dx+Q\,dy. Isso é simples para uma elipse padrão.

Passo 3

Parametrização da elipse e cuidado com a orientação. A elipse \dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 pode ser parametrizada por
x(t)=2\cos t,\qquad y(t)=\sin t.
Para y\ge 0 tomamos t\in[0,\pi]. Observação sobre orientação: a parametrização com t aumentando de 0 a \pi percorre a semicircunferência superior no sentido anti-horário. O enunciado exige sentido horário, isto é, o sentido oposto. Portanto escolhemos uma das duas opções equivalentes:
  • parametrizar com t decrescendo: t de \pi a 0, ou
  • usar t\in[0,\pi] e inserir um sinal menos global ao trocar os limites.
    Vou usar a parametrização x=2\cos t,\;y=\sin t com t variando de \pi a 0. Para computações é usual trocar a ordem dos limites e introduzir um menos:
\int_{C} = \int_{t=\pi}^{t=0}(\cdots)dt = -\int_{0}^{\pi}(\cdots)dt.
Também calculo dx e dy:
dx = x'(t)\,dt = -2\sin t\,dt,\qquad dy = y'(t)\,dt = \cos t\,dt.

Passo 4

Substituo x(t),y(t),dx,dy em P\,dx+Q\,dy. Primeiro escrevo P e Q em termos de t:
x=2\cos t,\qquad y=\sin t.
Logo
x^4=(2\cos t)^4 =16\cos^4 t, \qquad xy = 2\cos t\sin t.
Assim
P(x(t),y(t))=17(2\cos t\sin t)+3(16\cos^4 t)=34\cos t\sin t+48\cos^4 t.
E
Q(x(t),y(t))=\bigl(27+5\sin^6 t\bigr)^{1/3}+2(2\cos t)^2 =\bigl(27+5\sin^6 t\bigr)^{1/3}+8\cos^2 t.
Agora multiplico por dx e dy:
P\,dx = \bigl(34\cos t\sin t+48\cos^4 t\bigr)(-2\sin t)\,dt = \bigl(-68\cos t\sin^2 t -96\cos^4 t\sin t\bigr)\,dt,
Q\,dy = \Bigl(\bigl(27+5\sin^6 t\bigr)^{1/3}+8\cos^2 t\Bigr)\cos t\,dt =\bigl(27+5\sin^6 t\bigr)^{1/3}\cos t\,dt +8\cos^3 t\,dt.
Somando:
\bigl(P\,dx+Q\,dy\bigr)(t)=\bigl(-68\cos t\sin^2 t -96\cos^4 t\sin t + (27+5\sin^6 t)^{1/3}\cos t +8\cos^3 t\bigr)\,dt.

Passo 5

Agora aplico o sinal devido à orientação (lembre: t vai de \pi a 0):
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{t=\pi}^{t=0}\bigl(P\,dx+Q\,dy\bigr) = -\int_{0}^{\pi}\bigl(P\,dx+Q\,dy\bigr).
Então substituindo a expressão acima:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = -\int_{0}^{\pi}\bigl(-68\cos t\sin^2 t -96\cos^4 t\sin t + (27+5\sin^6 t)^{1/3}\cos t +8\cos^3 t\bigr)\,dt.
Faço o menos externo atuar nos termos:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{0}^{\pi}\bigl(68\cos t\sin^2 t +96\cos^4 t\sin t - (27+5\sin^6 t)^{1/3}\cos t -8\cos^3 t\bigr)\,dt.

Passo 6

Uso simetrias e substituições para eliminar termos. Observe os tipos de termos:
  • Termos da forma \cos t\cdot f(\sin t) integram zero em [0,\pi]. Explicação: se u=\sin t então du=\cos t\,dt e os limites são u(0)=0, u(\pi)=0, logo \int_{0}^{\pi}\cos t\;f(\sin t)\,dt=\int_{u=0}^{u=0} f(u)\,du=0.Assim os termos \;68\cos t\sin^2 t\; e \;-(27+5\sin^6 t)^{1/3}\cos t\; e também -8\cos^3 t (pois \cos^3 t=\cos t(1-\sin^2 t)) são todos do tipo \cos t\cdot f(\sin t) e cada um contribui zero ao integral sobre [0,\pi].
  • Resta o termo 96\cos^4 t\sin t. Esse não é da forma \cos t\cdot f(\sin t) puro, mas pode ser tratado com a substituição u=\cos t. Faço isso a seguir.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_{0}^{\pi}96\cos^4 t\sin t\,dt.

Passo 7

Calculo \displaystyle \int_{0}^{\pi}96\cos^4 t\sin t\,dt fazendo u=\cos t. Então du=-\sin t\,dt, ou \sin t\,dt=-du. Quando t=0 temos u=\cos 0=1; quando t=\pi temos u=\cos\pi=-1. Assim
\int_{0}^{\pi}\cos^4 t\sin t\,dt = \int_{u=1}^{u=-1} u^4(-du) = \int_{-1}^{1} u^4\,du.
Calculo direto:
\int_{-1}^{1} u^4\,du = 2\int_{0}^{1} u^4\,du = 2\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5}.
Multiplicando pelo fator 96,
\int_{0}^{\pi}96\cos^4 t\sin t\,dt = 96\cdot\frac{2}{5}=\frac{192}{5}.

Passo 8

Concluo que a integral ao longo de C vale \dfrac{192}{5}. (Todos os outros termos cancelaram por simetria/substituição; o único contributo foi o termo tratado no passo anterior.)

Resposta

\displaystyle \frac{192}{5}

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