Questão 4:
Calcule
, sendo C a porção de
, horária e
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde:
-
é a porção da elipse com (ou seja, a semicircunferência superior da elipse), percorrida no sentido horária. - A campo vetorial é
com
O que se pede: calcular
ao longo dessa curva orientada horariamente.
Passo 2
Escolha do método. Primeiro verifico se
é conservativo (pois aí a integral de linha ao longo de uma curva entre dois pontos dependeria só dos extremos). Calculo as derivadas parciais:
Como
(a menos de
),
não é conservativo globalmente. Então o caminho mais direto é parametrizar a elipse e calcular diretamente
. Isso é simples para uma elipse padrão.
Passo 3
Parametrização da elipse e cuidado com a orientação. A elipse
pode ser parametrizada por
Para
tomamos
. Observação sobre orientação: a parametrização com
aumentando de
a
percorre a semicircunferência superior no sentido anti-horário. O enunciado exige sentido horário, isto é, o sentido oposto. Portanto escolhemos uma das duas opções equivalentes:
- parametrizar com
decrescendo: de a , ou - usar
e inserir um sinal menos global ao trocar os limites.
Vou usar a parametrizaçãocom variando de a . Para computações é usual trocar a ordem dos limites e introduzir um menos:
Também calculo
e
:
Passo 4
Substituo
em
. Primeiro escrevo
e
em termos de
:
Logo
Assim
E
Agora multiplico por
e
:
Somando:
Passo 5
Agora aplico o sinal devido à orientação (lembre:
vai de
a
):
Então substituindo a expressão acima:
Faço o menos externo atuar nos termos:
Passo 6
Uso simetrias e substituições para eliminar termos. Observe os tipos de termos:
- Termos da forma
integram zero em . Explicação: se então e os limites são , , logo Assim os termos e e também (pois ) são todos do tipo e cada um contribui zero ao integral sobre . - Resta o termo
. Esse não é da forma puro, mas pode ser tratado com a substituição . Faço isso a seguir.
Portanto a integral reduz-se a
Passo 7
Calculo
fazendo
. Então
, ou
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Calculo direto:
Multiplicando pelo fator
,
Passo 8
Concluo que a integral ao longo de
vale
. (Todos os outros termos cancelaram por simetria/substituição; o único contributo foi o termo tratado no passo anterior.)