A função D(x,y):=\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4} aparece no denominador. D(x,y)=0 só em (0,0). Logo \vec{F} não é definida em (0,0).
A curva C é o círculo de raio 4 centrado na origem, portanto ela envolve o ponto (0,0) onde \vec{F} tem singularidade.
Como há singularidade no interior da região, não podemos aplicar Green diretamente ao campo inteiro sem cuidado; é natural separar o campo em duas partes e tratar cada uma.
Passo 2
Separação do campo (linearidade da integral): escrevo \vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2 com
Cálculo de \displaystyle \oint_{C}\vec{F}_2\cdot d\vec{r} usando o Teorema de Green.
Nota didática rápida sobre o Teorema de Green (versão usada): se P,Q têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa R que contém a curva fechada C e sua região interior, então
Aqui dA é a área e o sentido de C deve ser positivo (anti-horário). O teorema transforma uma integral de linha numa integral dupla do “rotor” (curl) escalar em 2D.
Para \vec{F}_2 as componentes são polinomiais/elementares e têm derivadas contínuas em todo \mathbb{R}^2, então podemos aplicar Green na região interior do círculo de raio 4.
Estudo de \vec{F}_1: comportamento e cálculo da integral.
Primeiro observo (e ensino o porquê) que \vec{F}_1 tem componentesP_1(x,y)=-\frac{y}{D(x,y)},\qquad Q_1(x,y)=\frac{x}{D(x,y)},\quad D(x,y)=\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}.
Calculo o “rotor” (curl escalar) de \vec{F}_1 em pontos onde D\neq0 (ou seja, fora da origem):\frac{\partial Q_1}{\partial x}=\frac{D- x\frac{\partial D}{\partial x}}{D^{2}} \quad\text{e}\quad \frac{\partial P_1}{\partial y}=\frac{-D + y\frac{\partial D}{\partial y}}{D^{2}}.Aqui \dfrac{\partial D}{\partial x}=\dfrac{2x}{9} e \dfrac{\partial D}{\partial y}=\dfrac{y}{2}.
Substituindo e simplificando (fazer as contas passo a passo mostra que os termos se cancelam) obtém-se\frac{\partial Q_1}{\partial x}-\frac{\partial P_1}{\partial y}=0\quad\text{para }D\neq0.
Conclusão: \vec{F}_1 é irrotacional (curl zero) em todo domínio onde é definida (isto é, em \mathbb{R}^2\setminus\{0\}). No entanto, como \vec{F}_1 não está definido na origem e nosso caminho C envolve a origem, a integral fechada de \vec{F}_1 em C pode ser não-nula (situação típica de um “vórtice” localizado na singularidade). Por isso calculo \oint_{C}\vec{F}_1\cdot d\vec{r} diretamente por parametrização.
Passo 5
Parametrização de C e cálculo explícito de \displaystyle \oint_{C}\vec{F}_1\cdot d\vec{r}.
Parametrizo C por x=4\cos t,\;y=4\sin t,\;t\in[0,2\pi]. Então dx=-4\sin t\,dt,\;dy=4\cos t\,dt.
Calculo o numerador usando a parametrização:-y\,dx+x\,dy=-4\sin t\cdot(-4\sin t\,dt)+4\cos t\cdot(4\cos t\,dt) =16(\sin^{2}t+\cos^{2}t)\,dt=16\,dt.(ufa: isso simplifica muito!)
O denominador D(x,y) ao longo do círculo éD(4\cos t,4\sin t)=\frac{(4\cos t)^{2}}{9}+\frac{(4\sin t)^{2}}{4} =16\!\left(\frac{\cos^{2}t}{9}+\frac{\sin^{2}t}{4}\right).
Portanto o integrando é\frac{-y\,dx+x\,dy}{D}=\frac{16\,dt}{16\!\left(\dfrac{\cos^{2}t}{9}+\dfrac{\sin^{2}t}{4}\right)} =\frac{dt}{\dfrac{\cos^{2}t}{9}+\dfrac{\sin^{2}t}{4}}.
Cálculo da integral trigonométrica e resultado para \vec{F}_1.
Para simplificar, escrevo\frac{\cos^{2}t}{9}+\frac{\sin^{2}t}{4}=a\cos^{2}t+b\sin^{2}t, \quad\text{com }a=\frac{1}{9},\;b=\frac{1}{4}.
Uso a identidade \cos^{2}t=\dfrac{1+\cos 2t}{2},\;\sin^{2}t=\dfrac{1-\cos 2t}{2}. Assima\cos^{2}t+b\sin^{2}t=\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}\cos 2t=: \alpha+\beta\cos 2t.Onde \alpha=\dfrac{a+b}{2} e \beta=\dfrac{a-b}{2}.
Há uma fórmula padrão (pode-se demonstrar por substituição \tan\frac{t}{2} ou usando transformações de cosseno) que vale:\int_{0}^{2\pi}\frac{dt}{\alpha+\beta\cos 2t}=\frac{2\pi}{\sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}},\qquad\text{se }\alpha>|\beta|.
Aqui calculo \alpha^{2}-\beta^{2}. Diretamente:\alpha^{2}-\beta^{2}=\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}=ab.(é um truque algébrico útil: diferença de quadrados reduz a ab.)