A curva C é fechada e contém a origem no seu interior (já que 2\cdot0^{2}+0^{2}=0<1).
O campo \vec{F} tem um denominador 2x^{2}+y^{2} que se anula apenas em (0,0), gerando uma singularidade no interior de C.
A integral pedida é a circulação ao longo de C com orientação anti‑horária.
Passo 2
Escolha do método: há duas opções naturais:
Usar o Teorema de Green (reduzir a integral de linha a uma integral dupla do rotacional). Porém o campo tem singularidade em (0,0) que está dentro da região; isso impede aplicar diretamente Green na região simples sem remover a origem.
Parametrizar a curva C e calcular diretamente \oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r}.
Aqui a parametrização é muito simples porque a equação da elipse é 2x^{2}+y^{2}=1. Uma parametrização conveniente é
Como u(0)=\sin 0=0 e u(2\pi)=\sin 2\pi=0, esse integral é
\int_{0}^{0} u^{2}\,du = 0.
Portanto a segunda parcela não contribui.
Somando as parcelas obtemos
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\sqrt{2}\,\pi.
Passo 6
Comentário final e checagem rápida: o resultado positivo faz sentido com a orientação anti‑horária. Observe que a singularidade em (0,0) não causou problema na avaliação porque na própria curva o denominador é constante e igual a 1; a parametrização tirou proveito dessa igualdade. Pronto — integral calculada.