Questão 3: Calcule \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, sendo C dada por 2 x^{2}+y^{2}=1 anti-horária e
\vec{F}=\left(\frac{-y}{2 x^{2}+y^{2}} ; \frac{x}{2 x^{2}+y^{2}}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha de circulação
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r},
onde a curva C é a elipse dada por
2x^{2}+y^{2}=1
orientada no sentido anti-horário, e o campo vetorial é
\vec{F}=\left(\frac{-y}{2x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{2x^{2}+y^{2}}+y^{2}\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva C é fechada e contém a origem no seu interior (já que 2\cdot0^{2}+0^{2}=0<1).
  • O campo \vec{F} tem um denominador 2x^{2}+y^{2} que se anula apenas em (0,0), gerando uma singularidade no interior de C.
  • A integral pedida é a circulação ao longo de C com orientação anti‑horária.

Passo 2

Escolha do método: há duas opções naturais:
  • Usar o Teorema de Green (reduzir a integral de linha a uma integral dupla do rotacional). Porém o campo tem singularidade em (0,0) que está dentro da região; isso impede aplicar diretamente Green na região simples sem remover a origem.
  • Parametrizar a curva C e calcular diretamente \oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r}.
Aqui a parametrização é muito simples porque a equação da elipse é 2x^{2}+y^{2}=1. Uma parametrização conveniente é
x(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pi,
pois ao substituir obtemos
2x(t)^{2}+y(t)^{2}=2\left(\frac{1}{2}\cos^{2}t\right)+\sin^{2}t=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1,
e t crescente percorre a elipse no sentido anti‑horário. Vou portanto usar parametrização e integrar diretamente.

Passo 3

Observação útil: ao longo da curva C vale exatamente
2x^{2}+y^{2}=1.
Isso simplifica o campo \vec{F} quando restrito a C: o denominador é 1 na curva, logo
\vec{F}\big|_{C}=\big(-y,\;x+y^{2}\big).
Isto é muito conveniente: em vez de integrar um campo com denominador, na integral na própria curva podemos trabalhar com a forma simples acima.

Passo 4

Calcular d\vec{r} e o produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{r} pela parametrização. Denotando a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} para simplificar, temos
x(t)=a\cos t,\qquad y(t)=\sin t,
dx=-a\sin t\,dt,\qquad dy=\cos t\,dt.
O produto escalar é
\vec{F}\cdot d\vec{r}=P\,dx+Q\,dy,
onde P=-y e Q=x+y^{2} sobre C. Substituindo:
P\,dx = (-y)\,dx = -\sin t\cdot(-a\sin t\,dt)=a\sin^{2}t\,dt,
Q\,dy = (x+y^{2})\,dy = \big(a\cos t+\sin^{2}t\big)\cos t\,dt = a\cos^{2}t\,dt + \sin^{2}t\cos t\,dt.
Somando:
\vec{F}\cdot d\vec{r} = \big(a\sin^{2}t + a\cos^{2}t + \sin^{2}t\cos t\big)\,dt = a\,dt + \sin^{2}t\cos t\,dt,
pois \sin^{2}t+\cos^{2}t=1.

Passo 5

Agora integramos em t de 0 a 2\pi:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2\pi}\left(a + \sin^{2}t\cos t\right)dt.
Separando:
\int_{0}^{2\pi} a\,dt = a\cdot 2\pi = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 2\pi = \sqrt{2}\,\pi.
E para a segunda parcela use substituição u=\sin t, então du=\cos t\,dt. Assim
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\cos t\,dt = \int_{u(0)}^{u(2\pi)} u^{2}\,du.
Como u(0)=\sin 0=0 e u(2\pi)=\sin 2\pi=0, esse integral é
\int_{0}^{0} u^{2}\,du = 0.
Portanto a segunda parcela não contribui.
Somando as parcelas obtemos
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\sqrt{2}\,\pi.

Passo 6

Comentário final e checagem rápida: o resultado positivo faz sentido com a orientação anti‑horária. Observe que a singularidade em (0,0) não causou problema na avaliação porque na própria curva o denominador é constante e igual a 1; a parametrização tirou proveito dessa igualdade. Pronto — integral calculada.

Resposta

\sqrt{2}\pi

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