Questão 4. Calcule as integrais abaixo usando a transformada de Laplace de algumas funções elementares.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são de
a . - Não há outros dados numéricos além de
(frequência na função seno) e (taxa do expoente negativo).
Passo 2
Vamos relacionar essa integral com a transformada de Laplace. Primeiro lembro a definição da transformada de Laplace de uma função
:
onde
é a variável complexa (na prática aqui só precisamos de
real positivo). Note que a integral que temos é exatamente a transformada de Laplace da função
avaliada em
, porque:
Ou seja, basta conhecer a transformada de Laplace de
e substituí-la em
.
Passo 3
Apresento a fórmula conhecida (e mostro por que ela vale): para
e
,
Derivação curta e intuitiva (útil para a prova): considere a transformada da exponencial complexa
:
para
. A parte imaginária dessa expressão corresponde à transformada de
, pois
. Tomando a parte imaginária de
obtemos
Portanto a fórmula está justificada. Aqui
é a variável da transformada e
é a frequência do seno.
Passo 4
Aplicamos a fórmula com
e
. Pela relação do Passo 2 e a fórmula do Passo 3:
Não simplificamos ainda nesta etapa (a simplificação final ficará na resposta).
Passo 5
Verificação rápida de convergência (para você não perder ponto na prova): como a parte exponencial
decai exponencialmente quando
, e
é limitada, o produto é integrável em
. Portanto a integral converge e a aplicação da transformada de Laplace é válida.