Questão 4. Calcule as integrais abaixo usando a transformada de Laplace de algumas funções elementares.
\int_{0}^{\infty} \operatorname{sen}(10 t) e^{-3 t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\infty} \operatorname{sen}(10 t)\, e^{-3 t}\, d t.
Informações relevantes dadas:
  • A função integranda é \operatorname{sen}(10 t)\, e^{-3 t}.
  • Os limites de integração são de 0 a \infty.
  • Não há outros dados numéricos além de 10 (frequência na função seno) e 3 (taxa do expoente negativo).

Passo 2

Vamos relacionar essa integral com a transformada de Laplace. Primeiro lembro a definição da transformada de Laplace de uma função f(t):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\, d t,
onde s é a variável complexa (na prática aqui só precisamos de s real positivo). Note que a integral que temos é exatamente a transformada de Laplace da função f(t)=\operatorname{sen}(10t) avaliada em s=3, porque:
\int_{0}^{\infty} \operatorname{sen}(10 t)\, e^{-3 t}\, d t = \mathcal{L}\{\operatorname{sen}(10t)\}(3).
Ou seja, basta conhecer a transformada de Laplace de \operatorname{sen}(a t) e substituí-la em s=3.

Passo 3

Apresento a fórmula conhecida (e mostro por que ela vale): para a>0 e s>0,
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(a t)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Derivação curta e intuitiva (útil para a prova): considere a transformada da exponencial complexa e^{i a t}:
\mathcal{L}\{e^{i a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{i a t}\, d t=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i a)t}\, d t=\frac{1}{s-i a},
para \operatorname{Re}(s)>0. A parte imaginária dessa expressão corresponde à transformada de \operatorname{sen}(a t), pois \operatorname{sen}(a t)=\operatorname{Im}(e^{i a t}). Tomando a parte imaginária de \dfrac{1}{s-i a} obtemos
\operatorname{Im}\!\left(\frac{1}{s-i a}\right)=\operatorname{Im}\!\left(\frac{s+i a}{s^{2}+a^{2}}\right)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Portanto a fórmula está justificada. Aqui s é a variável da transformada e a é a frequência do seno.

Passo 4

Aplicamos a fórmula com a=10 e s=3. Pela relação do Passo 2 e a fórmula do Passo 3:
\int_{0}^{\infty} \operatorname{sen}(10 t)\, e^{-3 t}\, d t = \frac{10}{3^{2}+10^{2}}.
Não simplificamos ainda nesta etapa (a simplificação final ficará na resposta).

Passo 5

Verificação rápida de convergência (para você não perder ponto na prova): como a parte exponencial e^{-3t} decai exponencialmente quando t\to\infty, e \sin(10t) é limitada, o produto é integrável em [0,\infty). Portanto a integral converge e a aplicação da transformada de Laplace é válida.

Resposta

\dfrac{10}{109}

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