Nos problemas a seguir, calcule mathcal{L}{f(t)}} usando a definição.
f(t)=\left\{\begin{array}{l}\operatorname{sen}(t), 0 \leq t<\pi \\\\ 0, t \geq \pi\end{array}\right.

Passo 1

O problema pede o cálculo da transformada de Laplace usando a definição para a função f(t)\) dada por \[f(t)=\begin{cases} \sin(t), & 0 \le t < \pi,\\[4pt] 0, & t \ge \pi. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • f(t)=\sin(t)\] no intervalo \([0,\pi).
  • f(t)=0 para t\ge\pi.
  • A transformada pedida é \mathcal{L}\{f(t)\} calculada pela definição (integral impropria usual da transformada de Laplace).]

Passo 2

Escrevemos a definição da transformada de Laplace e simplificamos usando que f(t)=0 para t\ge\pi. A definição é
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Como f(t)=0 para t\ge\pi, a integral sobre [0,\infty) reduz-se à integral sobre [0,\pi]. Portanto
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\pi} e^{-st}\sin t\,dt.
Observação sobre convergência: essa integral é sobre um intervalo finito, logo converge para todo s\in\mathbb{R} (e, na verdade, para todo s\in\mathbb{C}). Podemos calcular diretamente a integral definida acima.

Passo 3

Vamos calcular
I(s)=\int e^{-st}\sin t\,dt
para obter uma primitiva e então avaliar entre 0 e \pi. Faremos integração por partes duas vezes. Primeiro, suponha s\neq 0 (tratamos s=0 depois por continuidade).
Escolhemos:
u=\sin t,\qquad dv=e^{-st}\,dt.
Então
du=\cos t\,dt,\qquad v=\int e^{-st}\,dt=-\frac{e^{-st}}{s}.
Aplicando integração por partes,
I(s)=uv-\int v\,du = -\frac{e^{-st}}{s}\sin t + \frac{1}{s}\int e^{-st}\cos t\,dt.
Denotando
J(s)=\int e^{-st}\cos t\,dt,
temos
I(s)=-\frac{e^{-st}}{s}\sin t + \frac{1}{s}J(s).

Passo 4

Calcule J(s) por integração por partes novamente, com
u=\cos t,\qquad dv=e^{-st}\,dt.
Então
du=-\sin t\,dt,\qquad v=-\frac{e^{-st}}{s}.
Assim
J(s)=uv-\int v\,du = -\frac{e^{-st}}{s}\cos t - \int\left(-\frac{e^{-st}}{s}\right)(- \sin t)\,dt.
Simplificando o sinal do último termo,
J(s)=-\frac{e^{-st}}{s}\cos t - \frac{1}{s}\int e^{-st}\sin t\,dt.
Ou seja,
J(s)=-\frac{e^{-st}}{s}\cos t - \frac{1}{s}I(s).

Passo 5

Agora substituímos J(s) em I(s) da Passo 3:
I(s)=-\frac{e^{-st}}{s}\sin t + \frac{1}{s}\left(-\frac{e^{-st}}{s}\cos t - \frac{1}{s}I(s)\right).
Multiplicando e agrupando termos,
I(s)=-\frac{e^{-st}}{s}\sin t - \frac{e^{-st}}{s^{2}}\cos t - \frac{1}{s^{2}}I(s).
Passando o termo com I(s) para o lado esquerdo,
I(s)+\frac{1}{s^{2}}I(s) = -e^{-st}\left(\frac{\sin t}{s} + \frac{\cos t}{s^{2}}\right).
Fatorando I(s),
I(s)\left(1+\frac{1}{s^{2}}\right) = -e^{-st}\frac{s\sin t + \cos t}{s^{2}}.
Multiplicando por s^{2},
I(s)(s^{2}+1) = -e^{-st}(s\sin t + \cos t).
Logo a primitiva é
I(s)= -\frac{e^{-st}\bigl(s\sin t+\cos t\bigr)}{s^{2}+1}.
(Para s=0 calculamos diretamente \int \sin t\,dt = -\cos t, e a expressão acima tem limite bem definido em s\to 0; veremos isso ao avaliar a integral definida.)

Passo 6

Agora avaliamos a integral definida
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\pi} e^{-st}\sin t\,dt = \left.I(s)\right|_{0}^{\pi} = \left.-\frac{e^{-st}\bigl(s\sin t+\cos t\bigr)}{s^{2}+1}\right|_{0}^{\pi}.
Calculemos os valores nas extremidades usando \sin\pi=0, \cos\pi=-1, \sin 0=0, \cos 0=1:
\left.I(s)\right|_{0}^{\pi} = -\frac{e^{-s\pi}\bigl(s\cdot 0 + (-1)\bigr)}{s^{2}+1} \;-\; \left(-\frac{e^{0}\bigl(s\cdot 0 + 1\bigr)}{s^{2}+1}\right).
Isso dá
\left.I(s)\right|_{0}^{\pi} = -\frac{e^{-s\pi}(-1)}{s^{2}+1} + \frac{1}{s^{2}+1} = \frac{e^{-s\pi}+1}{s^{2}+1}.

Passo 7

Verificação rápida do caso s=0: substituindo s=0 na expressão obtida
\frac{e^{0}+1}{0^{2}+1}=\frac{1+1}{1}=2,
que coincide com \int_{0}^{\pi}\sin t\,dt = 2. Portanto a fórmula é válida por continuidade também para s=0. Para s complexo a mesma expressão define uma função inteira em s.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1+e^{-s\pi}}{s^{2}+1}

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