Nos problemas a seguir, calcule mathcal{L}{f(t)}} usando a definição. f(t)=\left\{\begin{array}{l}\operatorname{sen}(t), 0 \leq t<\pi \\\\ 0, t \geq \pi\end{array}\right.
Passo 1
O problema pede o cálculo da transformada de Laplace usando a definição para a função f(t)\) dada por
\[f(t)=\begin{cases} \sin(t), & 0 \le t < \pi,\\[4pt] 0, & t \ge \pi. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
f(t)=\sin(t)\] no intervalo \([0,\pi).
f(t)=0 para t\ge\pi.
A transformada pedida é \mathcal{L}\{f(t)\} calculada pela definição (integral impropria usual da transformada de Laplace).]
Passo 2
Escrevemos a definição da transformada de Laplace e simplificamos usando que f(t)=0 para t\ge\pi. A definição é
Observação sobre convergência: essa integral é sobre um intervalo finito, logo converge para todo s\in\mathbb{R} (e, na verdade, para todo s\in\mathbb{C}). Podemos calcular diretamente a integral definida acima.
Passo 3
Vamos calcular
I(s)=\int e^{-st}\sin t\,dt
para obter uma primitiva e então avaliar entre 0 e \pi. Faremos integração por partes duas vezes. Primeiro, suponha s\neq 0 (tratamos s=0 depois por continuidade).
(Para s=0 calculamos diretamente \int \sin t\,dt = -\cos t, e a expressão acima tem limite bem definido em s\to 0; veremos isso ao avaliar a integral definida.)
Verificação rápida do caso s=0: substituindo s=0 na expressão obtida
\frac{e^{0}+1}{0^{2}+1}=\frac{1+1}{1}=2,
que coincide com \int_{0}^{\pi}\sin t\,dt = 2. Portanto a fórmula é válida por continuidade também para s=0. Para s complexo a mesma expressão define uma função inteira em s.