Questão 3. Nos problemas a seguir, encontre a transformada inversa pedida.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformada inversa
Informações dadas pelo enunciado:
Não há outras perguntas: só precisamos recuperar a função no tempo cujo Laplace é essa dada.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar uma fórmula básica que é muito útil e que vou usar aqui: para todo inteiro não negativo
,
Explicando devagar:
significa a transformada de Laplace de
. A fórmula acima diz que a transformada da potência
é uma razão entre o fatorial
e
. As variáveis significam:
-
é a variável no domínio do tempo (o que queremos encontrar); -
é a variável no domínio de Laplace (onde está a expressão dada); -
é o fatorial de .
Usando essa fórmula com
obtemos
Logo, isolando, a transformada inversa de
é
Passo 3
Agora precisamos lidar com o fator [e^{-2 s}). Existe um teorema (o chamado teorema do deslocamento no tempo, ou segunda propriedade de deslocamento) que diz o seguinte:
Se
, então, para
,
onde
é a função degrau de Heaviside (ou função passo), definida por
Esse teorema nos permite interpretar o fator exponencial
.]
Passo 4
Aplicando o teorema do passo anterior ao nosso caso:
- aqui
, - e
tem inversa (do Passo 2).
Pelo teorema,
Substituindo
,
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida: a função encontrada é nula para
(porque
aí) e para
vale
. Isso faz sentido: o fator
“adiou” a função base
em
unidades de tempo.