Questão 3. Nos problemas a seguir, encontre a transformada inversa pedida.
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{e^{-2 s}}{s^{3}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{e^{-2 s}}{s^{3}}\right\}.
Informações dadas pelo enunciado:
\text{uma expressão no domínio de Laplace: } \frac{e^{-2 s}}{s^{3}}.ãí
Não há outras perguntas: só precisamos recuperar a função no tempo cujo Laplace é essa dada.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar uma fórmula básica que é muito útil e que vou usar aqui: para todo inteiro não negativo n,
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}}.
Explicando devagar: \mathcal{L}\{f(t)\} significa a transformada de Laplace de f. A fórmula acima diz que a transformada da potência t^{n} é uma razão entre o fatorial n! e s^{n+1}. As variáveis significam:
  • t é a variável no domínio do tempo (o que queremos encontrar);
  • s é a variável no domínio de Laplace (onde está a expressão dada);
  • n! é o fatorial de n.
Usando essa fórmula com n=2 obtemos
\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}.
Logo, isolando, a transformada inversa de s^{-3} é
\mathcal{L}^{-1}\{s^{-3}\}=\frac{t^{2}}{2}.

Passo 3

Agora precisamos lidar com o fator [e^{-2 s}). Existe um teorema (o chamado teorema do deslocamento no tempo, ou segunda propriedade de deslocamento) que diz o seguinte:
Se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então, para a>0,
\mathcal{L}\{u(t-a)\,f(t-a)\}=e^{-a s}F(s),
onde u(t-a) é a função degrau de Heaviside (ou função passo), definida por
u(t-a)=\begin{cases}0, & t<a,\\[4pt] 1, & t\ge a.\end{cases}
Esse teorema nos permite interpretar o fator exponencial e^{-a s}\] como um deslocamento no tempo aplicado à função original \(f.]

Passo 4

Aplicando o teorema do passo anterior ao nosso caso:
  • aqui a=2,
  • e F(s)=s^{-3} tem inversa f(t)=\dfrac{t^{2}}{2} (do Passo 2).
Pelo teorema,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{e^{-2 s}\cdot s^{-3}\right\}=u(t-2)\,f(t-2).
Substituindo f,
u(t-2)\,f(t-2)=u(t-2)\cdot\frac{(t-2)^{2}}{2}.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: a função encontrada é nula para t<2 (porque u(t-2)=0 aí) e para t\ge 2 vale \dfrac{(t-2)^{2}}{2}. Isso faz sentido: o fator e^{-2s} “adiou” a função base \dfrac{t^{2}}{2} em 2 unidades de tempo.

Resposta

\;u(t-2)\dfrac{(t-2)^{2}}{2}

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