Questão 1. Calcule as integrais iteradas:
\int_{0}^{\sqrt{\log 2}} \int_{0}^{y} \int_{y^{2}}^{\log 2} e^{\sin x} \sin \left(y^{2}\right) d x d z d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{\sqrt{\log 2}} \int_{0}^{y} \int_{y^{2}}^{\log 2} e^{\sin x}\,\sin\left(y^{2}\right)\,d x\,d z\,d y.
Informações dadas (listei pra você não se perder):
  • A variável mais interna é x, com limite inferior x=y^{2} e limite superior x=\log 2.
  • A variável do meio é z, com limites z=0 até z=y.
  • A variável externa é y, com limites y=0 até y=\sqrt{\log 2}.
  • O integrando é e^{\sin x}\,\sin\!\big(y^{2}\big), que depende de x e de y, mas não depende de z.

Passo 2

Primeira simplificação: como o integrando não depende de z, a integral em z é simples. Calcule
\int_{0}^{y} d z = y.
Portanto a integral tripla reduz-se a uma dupla:
\int_{0}^{\sqrt{\log 2}} \int_{y^{2}}^{\log 2} e^{\sin x}\,\sin\!\big(y^{2}\big)\, d x \; y\, d y.

Passo 3

Observe que, na integral interna em x, a função \sin\!\big(y^{2}\big) é constante (pois depende só de y). Então podemos fatorá-la:
\int_{0}^{\sqrt{\log 2}} y\,\sin\!\big(y^{2}\big)\left(\int_{y^{2}}^{\log 2} e^{\sin x}\, d x\right) d y.

Passo 4

Fazemos a substituição clássica para lidar com y\,\sin(y^{2}): seja t=y^{2}. Então d t = 2y\,d y, ou seja y\,d y = \tfrac{1}{2} d t. Os limites em y vão de 0 a \sqrt{\log 2}, então em t vão de 0 a \log 2. Substituindo:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\log 2} \sin t \left(\int_{t}^{\log 2} e^{\sin x}\, d x\right) d t.
Agora a integral está escrita em termos de t e x.

Passo 5

Interpretação geométrica / troca de ordem: a expressão
\frac{1}{2}\int_{0}^{\log 2} \sin t \left(\int_{t}^{\log 2} e^{\sin x}\, d x\right) d t
é uma integral dupla sobre a região \{(t,x)\mid 0\le t\le x\le \log 2\}. Como a função é contínua nesse retângulo e a região é simples, podemos trocar a ordem de integração (Fubini/Tonelli). Ao trocar, para cada x fixo o t varia de 0 a x. Assim obtemos:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\log 2} \left(\int_{0}^{x} \sin t\, d t\right) e^{\sin x}\, d x.

Passo 6

Calcule a integral interna em t:
\int_{0}^{x} \sin t\, d t = \big[-\cos t\big]_{0}^{x} = -\cos x -(-\cos 0) = 1-\cos x.
Substituindo no passo anterior:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\log 2} (1-\cos x)\, e^{\sin x}\, d x.

Passo 7

Separe a integral em duas partes:
\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\log 2} e^{\sin x}\, d x \;-\; \int_{0}^{\log 2} \cos x\, e^{\sin x}\, d x\right).
Agora note a observação útil: a derivada de e^{\sin x} é
\frac{d}{d x} e^{\sin x} = \cos x\, e^{\sin x}.
Portanto a segunda integral é uma integral exata de derivada.

Passo 8

Calcule a segunda integral explicitamente:
\int_{0}^{\log 2} \cos x\, e^{\sin x}\, d x = \big[e^{\sin x}\big]_{0}^{\log 2} = e^{\sin(\log 2)} - e^{\sin 0} = e^{\sin(\log 2)} - 1,
pois \sin 0 = 0 e e^{0}=1. Substituindo de volta:
\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\log 2} e^{\sin x}\, d x \;-\; \big(e^{\sin(\log 2)}-1\big)\right).

Passo 9

Reorganizando a expressão final, obtemos a forma conveniente para a resposta:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\log 2} e^{\sin x}\, d x \;-\; \frac{1}{2}e^{\sin(\log 2)} \;+\; \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\int_{0}^{\log 2} e^{\sin x}\, d x - \frac{1}{2}e^{\sin(\log 2)} + \frac{1}{2}

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