Questão 1. Calcule as integrais iteradas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas (listei pra você não se perder):
- A variável mais interna é
, com limite inferior e limite superior . - A variável do meio é
, com limites até . - A variável externa é
, com limites até . - O integrando é
, que depende de e de , mas não depende de .
Passo 2
Primeira simplificação: como o integrando não depende de
, a integral em
é simples. Calcule
Portanto a integral tripla reduz-se a uma dupla:
Passo 3
Observe que, na integral interna em
, a função
é constante (pois depende só de
). Então podemos fatorá-la:
Passo 4
Fazemos a substituição clássica para lidar com
: seja
. Então
, ou seja
. Os limites em
vão de
a
, então em
vão de
a
. Substituindo:
Agora a integral está escrita em termos de
e
.
Passo 5
Interpretação geométrica / troca de ordem: a expressão
é uma integral dupla sobre a região
. Como a função é contínua nesse retângulo e a região é simples, podemos trocar a ordem de integração (Fubini/Tonelli). Ao trocar, para cada
fixo o
varia de
a
. Assim obtemos:
Passo 6
Calcule a integral interna em
:
Substituindo no passo anterior:
Passo 7
Separe a integral em duas partes:
Agora note a observação útil: a derivada de
é
Portanto a segunda integral é uma integral exata de derivada.
Passo 8
Calcule a segunda integral explicitamente:
pois
e
. Substituindo de volta:
Passo 9
Reorganizando a expressão final, obtemos a forma conveniente para a resposta: