Questão 1. Calcule as integrais iteradas:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} e^{x^{2}} d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x^{2}}\,dx\,dy\,dz.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função integrando é \,e^{x^{2}}\,.
  • Os limites de integração em cada variável são todos de 0 a 1.
  • A integral é tripla/iterada com ordem de integração dx (interna), depois dy, depois dz.
  • A tarefa é calcular o valor numérico (ou expressão exata) dessa integral.

Passo 2

Observação importante sobre a integranda: \,e^{x^{2}}\, depende somente de x; não depende de y nem de z. Isso simplifica muito porque, ao integrar em y e z, a expressão em x se comporta como uma constante em relação a y e z. Vou usar essa ideia passo a passo (sem pular nada).

Passo 3

Escrevendo a integral na forma iterada tal como dada:
\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1} e^{x^{2}}\,dx\right)dy\right)dz.
Repare que a integral interna \int_{0}^{1} e^{x^{2}}\,dx não depende de y. Portanto, ao integrar em y isso é uma constante multiplicando a integral em y. Ou seja,
\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1} e^{x^{2}}\,dx\right)dy = \left(\int_{0}^{1} e^{x^{2}}\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} dy\right).
Isto é um uso direto da propriedade básica de integrais repetidas: se a expressão interna é constante em relação à variável externa, ela sai da integral dessa variável.

Passo 4

Calculo das integrais triviais em y e z:
\int_{0}^{1} dy = 1, \qquad \int_{0}^{1} dz = 1.
Portanto a integral tripla reduz-se a
\left(\int_{0}^{1} e^{x^{2}}\,dx\right)\cdot 1 \cdot 1 = \int_{0}^{1} e^{x^{2}}\,dx.
Ou seja, o problema virou calcular a integral simples em x de 0 a 1.

Passo 5

Agora vamos à integral em x:
\int_{0}^{1} e^{x^{2}}\,dx.
Aqui tem um ponto teórico importante: a função e^{x^{2}} não tem primitiva expressável em termos das funções elementares usuais (polinômios, exponenciais, senos, cossenos, logaritmos, etc.). Para lidar com esse tipo de integral, define-se uma função especial chamada função erro imaginária, denotada por \mathrm{erfi}(x), cuja definição útil para nós é
\mathrm{erfi}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,dt.
Dessa definição segue imediatamente que
\int_{0}^{1} e^{x^{2}}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erfi}(1).
(Essa é apenas uma reescrita da integral em termos de uma função especial conhecida; é o modo “exato” de escrever o valor.)

Passo 6

Se você quiser um valor numérico aproximado (útil na prova se pedirem aproximação), podemos usar a definição acima com valores tabulados ou calculadora para \mathrm{erfi}(1). O valor numérico é
\mathrm{erfi}(1)\approx 1{,}6504257588,
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\int_{0}^{1} e^{x^{2}}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erfi}(1) \approx 1{,}462651746.
Se preferir uma ideia de como aproximar sem tabela: expanda e^{x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{n!} e integre termo a termo para obter a série
\int_{0}^{1} e^{x^{2}}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)\,n!},
que converge e pode ser truncada para obter aproximações.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erfi}(1)\n \displaystyle \approx 1{,}462651746

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