Questão 1. Calcule as integrais iteradas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas e o que se pede:
- A função integrando é
. - Os limites de integração em cada variável são todos de
a . - A integral é tripla/iterada com ordem de integração
(interna), depois , depois . - A tarefa é calcular o valor numérico (ou expressão exata) dessa integral.
Passo 2
Observação importante sobre a integranda:
depende somente de
; não depende de
nem de
. Isso simplifica muito porque, ao integrar em
e
, a expressão em
se comporta como uma constante em relação a
e
. Vou usar essa ideia passo a passo (sem pular nada).
Passo 3
Escrevendo a integral na forma iterada tal como dada:
Repare que a integral interna
não depende de
. Portanto, ao integrar em
isso é uma constante multiplicando a integral em
. Ou seja,
Isto é um uso direto da propriedade básica de integrais repetidas: se a expressão interna é constante em relação à variável externa, ela sai da integral dessa variável.
Passo 4
Calculo das integrais triviais em
e
:
Portanto a integral tripla reduz-se a
Ou seja, o problema virou calcular a integral simples em
de
a
.
Passo 5
Agora vamos à integral em
:
Aqui tem um ponto teórico importante: a função
não tem primitiva expressável em termos das funções elementares usuais (polinômios, exponenciais, senos, cossenos, logaritmos, etc.). Para lidar com esse tipo de integral, define-se uma função especial chamada função erro imaginária, denotada por
, cuja definição útil para nós é
Dessa definição segue imediatamente que
(Essa é apenas uma reescrita da integral em termos de uma função especial conhecida; é o modo “exato” de escrever o valor.)
Passo 6
Se você quiser um valor numérico aproximado (útil na prova se pedirem aproximação), podemos usar a definição acima com valores tabulados ou calculadora para
. O valor numérico é
logo
Se preferir uma ideia de como aproximar sem tabela: expanda
e integre termo a termo para obter a série
que converge e pode ser truncada para obter aproximações.