Questão 1. Calcule as integrais iteradas:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{x y} \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{xy}\cos\!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dz\,dy\,dx.
Informações fornecidas:
\;x varia em [0,1],
\;y varia em [0,1],
\;z varia em [0,xy],
e a função integranda é \cos\!\left(x^{2}+y^{2}\right).
A pergunta é: calcular o valor numérico exato dessa integral iterada.

Passo 2

Primeiro passo prático: integrar em relação a z. Observação importante: a função \cos\!\left(x^{2}+y^{2}\right) não depende de z (ou seja, é constante quando fixamos x e y). Quando integrarmos uma função constante em z no intervalo [0,xy], o resultado é essa constante multiplicada pelo comprimento do intervalo, que é xy. Formalmente,
\int_{0}^{xy}\cos\!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dz = \cos\!\left(x^{2}+y^{2}\right)\cdot\bigl[z\bigr]_{0}^{xy} = xy\cos\!\left(x^{2}+y^{2}\right).
Portanto a integral tripla reduz-se à integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}xy\cos\!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy\,dx.

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a y, mantendo x fixo. Observe a parte y\cos\!\left(x^{2}+y^{2}\right). Uma técnica muito útil é reconhecer derivadas: pela regra da cadeia, a derivada de \sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right) em relação a y é
\frac{d}{dy}\sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right) = 2y\cos\!\left(x^{2}+y^{2}\right).
Isso nos diz que y\cos\!\left(x^{2}+y^{2}\right) é \tfrac{1}{2} da derivada de \sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right). Assim, uma primitiva é
\int y\cos\!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy = \tfrac{1}{2}\sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right)+C.
Aplicando isso na integral definida em y de 0 a 1, temos
\int_{0}^{1}y\cos\!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy = \tfrac{1}{2}\Bigl[\sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right)\Bigr]_{y=0}^{y=1} = \tfrac{1}{2}\bigl(\sin\!\left(x^{2}+1\right)-\sin\!\left(x^{2}\right)\bigr).
Lembre-se: fizemos isso com x fixo, portanto o resultado ainda depende de x. Multiplicando pelo fator x que ficou fora, a integral dupla fica
\int_{0}^{1} x\cdot \tfrac{1}{2}\bigl(\sin\!\left(x^{2}+1\right)-\sin\!\left(x^{2}\right)\bigr)\,dx.

Passo 4

Separe a integral em duas partes para facilitar:
I = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}x\sin\!\left(x^{2}+1\right)\,dx \;-\; \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}x\sin\!\left(x^{2}\right)\,dx.
Agora usamos substituição do tipo u=x^{2}+a em cada uma, que é padrão quando aparece x multiplicando uma função de x^{2}.
Para a primeira integral, faça u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx, isto é x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Quando x=0 temos u=1 e quando x=1 temos u=2. Assim
\int_{0}^{1}x\sin\!\left(x^{2}+1\right)\,dx = \int_{u=1}^{u=2}\tfrac{1}{2}\sin u\,du = \tfrac{1}{2}\bigl[-\cos u\bigr]_{1}^{2} = \tfrac{1}{2}\bigl(\cos 1-\cos 2\bigr).
Para a segunda integral, faça u=x^{2}. Então du=2x\,dx, x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Quando x=0 temos u=0 e quando x=1 temos u=1. Assim
\int_{0}^{1}x\sin\!\left(x^{2}\right)\,dx = \int_{u=0}^{u=1}\tfrac{1}{2}\sin u\,du = \tfrac{1}{2}\bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos 1\bigr),
pois \cos 0=1.

Passo 5

Substituindo esses resultados em I:
I = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}\bigl(\cos 1-\cos 2\bigr) \;-\; \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos 1\bigr).
Ou seja
I = \tfrac{1}{4}\bigl(\cos 1-\cos 2\bigr)-\tfrac{1}{4}\bigl(1-\cos 1\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
I = \tfrac{1}{4}\bigl(2\cos 1 - \cos 2 - 1\bigr).
Pronto — essa é a forma simplificada exata da integral.

Resposta

\dfrac{1}{4}\bigl(2\cos 1 - \cos 2 - 1\bigr)

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