Questão 1. Calcule as integrais iteradas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações fornecidas:
varia em
,
varia em
,
varia em
,
e a função integranda é .
A pergunta é: calcular o valor numérico exato dessa integral iterada.
e a função integranda é
A pergunta é: calcular o valor numérico exato dessa integral iterada.
Passo 2
Primeiro passo prático: integrar em relação a
. Observação importante: a função
não depende de
(ou seja, é constante quando fixamos
e
). Quando integrarmos uma função constante em
no intervalo
, o resultado é essa constante multiplicada pelo comprimento do intervalo, que é
. Formalmente,
Portanto a integral tripla reduz-se à integral dupla
Passo 3
Agora vamos integrar em relação a
, mantendo
fixo. Observe a parte
. Uma técnica muito útil é reconhecer derivadas: pela regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
Isso nos diz que
é
da derivada de
. Assim, uma primitiva é
Aplicando isso na integral definida em
de
a
, temos
Lembre-se: fizemos isso com
fixo, portanto o resultado ainda depende de
. Multiplicando pelo fator
que ficou fora, a integral dupla fica
Passo 4
Separe a integral em duas partes para facilitar:
Agora usamos substituição do tipo
em cada uma, que é padrão quando aparece
multiplicando uma função de
.
Para a primeira integral, faça
. Então
, isto é
. Quando
temos
e quando
temos
. Assim
Para a segunda integral, faça
. Então
,
. Quando
temos
e quando
temos
. Assim
pois
.
Passo 5
Substituindo esses resultados em
:
Ou seja
Agrupando termos semelhantes:
Pronto — essa é a forma simplificada exata da integral.