3 Questão: Calcule:
e) integral cos (x) cos ^2(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral cos(x)cos^2(2x),dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas e vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar o integrando.

Passo 2

Usamos a identidade cos^2theta = tfrac1+cos(2theta)2 com theta = 2x. Assim, temos:
cos^2(2x) = 1+cos(4x)2

Passo 3

Substituindo no integrando:
integral cos(x)cos^2(2x),dx = 12integral cos(x),dx + 12integral cos(x)cos(4x),dx

Passo 4

Para o segundo termo, aplicamos a fórmula de produto para soma: cos Acos B = tfrac12[cos(A+B)+cos(A-B)]. Assim:
cos(x)cos(4x) = 12[cos(5x)+cos(3x)]
Logo:
12integral cos(x)cos(4x),dx = 14integral [cos(5x)+cos(3x)],dx

Passo 5

Agora, calculamos cada integral conhecida:
  • integral cos(x),dx = sin(x)
  • integral cos(5x),dx = tfracsin(5x)5
  • integral cos(3x),dx = tfracsin(3x)3

Passo 6

Reunindo os resultados, obtemos:
integral cos(x)cos^2(2x),dx = 12sin(x) + 14l(sin(5x)5 + sin(3x)3r) + C

Resposta

[\n\frac{1}{2}\sin(x) + \frac{1}{4}\Bigl(\frac{\sin(5x)}{5} + \frac{\sin(3x)}{3}\Bigr) + C
]

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