3 Questão: Calcule:
d) integral e^t / 2 sen(2 t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral e^t/2sin(2t),dt. Esse é um caso clássico de produto entre exponencial e função trigonométrica, e vamos usar integração por partes duas vezes para resolver.

Passo 2

Vamos aplicar integração por partes em integral e^t/2sin(2t),dt. Escolhemos
u=sin(2t) e dv=e^t/2,dt. Assim
du=2cos(2t),dt, v=integral e^t/2,dt=2e^t/2
Logo,
integral e^t/2sin(2t),dt = u v - integral v,du = 2e^t/2sin(2t) - 4integral e^t/2cos(2t),dt

Passo 3

Agora precisamos de integral e^t/2cos(2t),dt. Aplicamos integração por partes de novo, com
u=cos(2t) e dv=e^t/2,dt. Então
du=-2sin(2t),dt, v=2e^t/2
Isso dá
integral e^t/2cos(2t),dt = 2e^t/2cos(2t) + 4integral e^t/2sin(2t),dt

Passo 4

Substituindo essa última no resultado do primeiro partes, obtemos
integral e^t/2sin(2t),dt = 2e^t/2sin(2t) - 4l(2e^t/2cos(2t) + 4integral e^t/2sin(2t),dtr)
Expandindo e juntando termos com a integral original,
integral e^t/2sin(2t),dt = 2e^t/2sin(2t) - 8e^t/2cos(2t) -16integral e^t/2sin(2t),dt
Passando o termo da direita para o lado esquerdo,
17integral e^t/2sin(2t),dt = e^t/2l(2sin(2t)-8cos(2t)r)

Passo 5

Basta dividir ambos os lados por 17 e acrescentar a constante de integração C.

Resposta

integral e^t/2sin(2t),dt = e^t/217l(2sin(2t)-8cos(2t)r) + C

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