Questão 3) Calcule a integral dupla \iint_{R}\left(2 x^{2} y-7 y+1\right) d A, onde R é a região delimitada entre as curvas y=4 x^{2} e y=8 x. Esboce a região de integração.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(2 x^{2} y-7 y+1\right)\,dA,
onde R é a região delimitada entre as curvas y=4x^{2} e y=8x. Também pede para esboçar a região de integração.
Informações dadas:
  • A função integranda é f(x,y)=2x^{2}y-7y+1.
  • As curvas que delimitam R são y=4x^{2} (parábola) e y=8x (reta).
  • A região R é a parte do plano limitada por essas duas curvas (a interseção entre elas define os limites horizontais/verticais).
O que é pedido:
  • Determinar explicitamente a região R (interseções, limites).
  • Montar a integral dupla apropriada.
  • Calcular a integral e dar o valor numérico final.
  • Esboçar a região R.

Passo 2

Encontro dos pontos de interseção entre y=4x^{2} e y=8x. Igualando as duas expressões:
4x^{2}=8x.
Coloco tudo num lado:
4x^{2}-8x=0.
Fatorando:
4x(x-2)=0,
portanto as soluções são x=0 e x=2. Calculando os y correspondentes:
  • Para x=0: y=4\cdot0^{2}=0.
  • Para x=2: y=4\cdot2^{2}=16 (ou y=8\cdot2=16, concorda).
Assim os pontos de interseção são (0,0) e (2,16).
Esboço da região (instrução para desenhar):
  • Desenhe o eixo x horizontal e o eixo y vertical.
  • A parábola y=4x^{2} abre para cima e passa por (0,0); em x=2 tem y=16.
  • A reta y=8x é uma linha passando por (0,0) com inclinação 8; em x=2 tem y=16.
  • A região R é o “farto” entre a parábola e a reta, para x entre 0 e 2: isto é, para cada x\in[0,2] o y varia de y=4x^{2} (em baixo) até y=8x (em cima). (Um teste: em x=1, 4x^{2}=4 e 8x=8, logo a reta está acima da parábola.)

Passo 3

Escolha da ordem de integração e montagem da integral iterada.
Como acabamos de ver, para x entre 0 e 2 temos 4x^{2}\le y\le 8x. Isso sugere integrar primeiro em y e depois em x. Assim a integral dupla vira a integral iterada
\iint_{R}\left(2 x^{2} y-7 y+1\right)\,dA = \int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=4x^{2}}^{8x}\left(2 x^{2} y-7 y+1\right)\,dy\right)dx.
Explicação curta do porquê: ao fixar x em [0,2], o y percorre um intervalo simples entre duas curvas expressas como funções de x; essa é a forma mais direta e evita particionar a região.

Passo 4

Integro em y primeiro. Vou integrar termo a termo, usando a regra básica \int y\,dy = \tfrac{1}{2}y^{2} e \int c\,dy = c y quando c é constante em relação a y.
Calculo a primitiva em y da integranda \,2x^{2}y-7y+1:
\int\left(2x^{2}y-7y+1\right)\,dy = 2x^{2}\cdot\frac{y^{2}}{2} -7\cdot\frac{y^{2}}{2} + y = x^{2}y^{2}-\frac{7}{2}y^{2}+y.
Portanto a integral interna avaliada entre y=4x^{2} e y=8x é
\left[x^{2}y^{2}-\frac{7}{2}y^{2}+y\right]_{y=4x^{2}}^{y=8x}.

Passo 5

Avalio a expressão nos limites e simplifico.
Avaliação em y=8x:
x^{2}(8x)^{2}-\frac{7}{2}(8x)^{2}+(8x) = x^{2}\cdot 64x^{2} -\frac{7}{2}\cdot 64x^{2} + 8x =64x^{4}-224x^{2}+8x,
pois \tfrac{7}{2}\cdot64=224.
Avaliação em y=4x^{2}:
x^{2}(4x^{2})^{2}-\frac{7}{2}(4x^{2})^{2}+(4x^{2}) = x^{2}\cdot 16x^{4} -\frac{7}{2}\cdot 16x^{4} + 4x^{2} =16x^{6}-56x^{4}+4x^{2},
pois \tfrac{7}{2}\cdot16=56.
Subtraindo (valor em 8x menos valor em 4x^{2}):
64x^{4}-224x^{2}+8x - \bigl(16x^{6}-56x^{4}+4x^{2}\bigr) = -16x^{6} +120x^{4} -228x^{2} +8x.
Assim a integral em x que resta é
\int_{0}^{2}\left(-16x^{6}+120x^{4}-228x^{2}+8x\right)\,dx.

Passo 6

Agora integro termo a termo em x. Uso a regra de potência \int x^{n}dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}.
Antiderivada:
\int\left(-16x^{6}+120x^{4}-228x^{2}+8x\right)\,dx = -\frac{16}{7}x^{7} + 24x^{5} -76x^{3} +4x^{2} + C.
Avalio de x=0 a x=2. Em x=2:
-\frac{16}{7}\cdot 2^{7} + 24\cdot 2^{5} -76\cdot 2^{3} + 4\cdot 2^{2}.
Calculo cada termo:
2^{7}=128,\quad -\frac{16}{7}\cdot128 = -\frac{2048}{7},
2^{5}=32,\quad 24\cdot32=768,
2^{3}=8,\quad -76\cdot8=-608,
2^{2}=4,\quad 4\cdot4=16.
Somando os termos numéricos:
768-608+16 = 176.
Então o valor total em x=2 é
176 - \frac{2048}{7}.
Coloco em denominador comum:
176 = \frac{1232}{7},
portanto
\frac{1232}{7}-\frac{2048}{7} = -\frac{816}{7}.
Em x=0 a antiderivada vale 0, então a integral definida é
-\frac{816}{7}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: o resultado é negativo porque a parte da integranda que pesa negativamente (termos em y com coeficiente grande negativo) domina sobre a parte positiva na região R. Isso é algo que pode acontecer — não se assuste com sinal negativo. Você seguiu corretamente as regras de montar a região e integrar passo a passo.

Resposta

-\frac{816}{7}

Exercícios relacionados