Questão 3) Calcule a integral dupla
, onde
é a região delimitada entre as curvas
e
. Esboce a região de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região delimitada entre as curvas
e
. Também pede para esboçar a região de integração.
Informações dadas:
- A função integranda é
. - As curvas que delimitam
são (parábola) e (reta). - A região
é a parte do plano limitada por essas duas curvas (a interseção entre elas define os limites horizontais/verticais).
O que é pedido:
- Determinar explicitamente a região
(interseções, limites). - Montar a integral dupla apropriada.
- Calcular a integral e dar o valor numérico final.
- Esboçar a região
.
Passo 2
Encontro dos pontos de interseção entre
e
. Igualando as duas expressões:
Coloco tudo num lado:
Fatorando:
portanto as soluções são
e
. Calculando os
correspondentes:
- Para
: . - Para
: (ou , concorda).
Assim os pontos de interseção são
e
.
Esboço da região (instrução para desenhar):
- Desenhe o eixo
horizontal e o eixo vertical. - A parábola
abre para cima e passa por ; em tem . - A reta
é uma linha passando por com inclinação ; em tem . - A região
é o “farto” entre a parábola e a reta, para entre e : isto é, para cada o varia de (em baixo) até (em cima). (Um teste: em , e , logo a reta está acima da parábola.)
Passo 3
Escolha da ordem de integração e montagem da integral iterada.
Como acabamos de ver, para
entre
e
temos
. Isso sugere integrar primeiro em
e depois em
. Assim a integral dupla vira a integral iterada
Explicação curta do porquê: ao fixar
em
, o
percorre um intervalo simples entre duas curvas expressas como funções de
; essa é a forma mais direta e evita particionar a região.
Passo 4
Integro em
primeiro. Vou integrar termo a termo, usando a regra básica
e
quando
é constante em relação a
.
Calculo a primitiva em
da integranda
:
Portanto a integral interna avaliada entre
e
é
Passo 5
Avalio a expressão nos limites e simplifico.
Avaliação em
:
pois
.
Avaliação em
:
pois
.
Subtraindo (valor em
menos valor em
):
Assim a integral em
que resta é
Passo 6
Agora integro termo a termo em
. Uso a regra de potência
.
Antiderivada:
Avalio de
a
. Em
:
Calculo cada termo:
Somando os termos numéricos:
Então o valor total em
é
Coloco em denominador comum:
portanto
Em
a antiderivada vale
, então a integral definida é
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo: o resultado é negativo porque a parte da integranda que pesa negativamente (termos em
com coeficiente grande negativo) domina sobre a parte positiva na região
. Isso é algo que pode acontecer — não se assuste com sinal negativo. Você seguiu corretamente as regras de montar a região e integrar passo a passo.
Resposta
-\frac{816}{7}