10. (6 pontos)
Esboce a região
delimitada por
e determine apenas as integrais que representam o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno da reta
utilizando o Método dos Discos e o Método das Cascas.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região
limitada por
e, em seguida, determinar apenas as integrais que representam o volume do sólido obtido ao rodar
em torno da reta
usando o Método dos Discos (lavadora/anel) e o Método das Cascas.
Informações dadas e o que precisamos obter:
Informações dadas e o que precisamos obter:
- A curva superior é
. - A curva inferior é
. - A fronteira vertical é
. - Precisamos escrever duas integrais: uma pelo Método dos Discos (fatiamento perpendicular ao eixo de rotação) e outra pelo Método das Cascas (fatiamento paralelo ao eixo de rotação). Não é pedido calcular o valor numérico, apenas as integrais que representam o volume.
Passo 2
Entender a região
e seus limites (esboço mental/simples):
- Interseção de
com dá . - A fronteira
restringe à porção com . Portanto, na região temos . - Para um
fixo entre e , varia de até . - Em termos de
, a região tem e, para um dado , varia de até (usar a raiz positiva porque estamos com ).
Passo 3
Método dos Discos (lavadoras): ideia e aplicação passo a passo
- Princípio: quando o eixo de rotação é horizontal, fatiamentos perpendiculares ao eixo são retângulos verticais em
constante; ao girar cada retângulo em torno da reta horizontal gera-se uma lavadora (anel) cuja área é . O volume é a integral dessa área ao longo de . - Variáveis e o que representam:
-
. -
distância vertical do eixo até a curva superior . -
distância vertical do eixo até a curva inferior .
-
- Calcular os raios:
-
-
(constante)
-
- Limites de integração:
vai de a . - Integral pelo método dos discos (lavadoras):
Passo 4
Método das Cascas: ideia e aplicação passo a passo
- Princípio: quando o eixo de rotação é horizontal, fatiamentos paralelos ao eixo são fatias horizontais (em
constante); ao girar uma fatia horizontal em torno da reta horizontal obtém-se uma casca cilíndrica. O volume de cada casca é . - Variáveis e o que representam:
- Usamos
como variável da fatia; a espessura é . -
distância vertical do nível até o eixo , isto é -
comprimento horizontal da interseção da região com a linha constante, isto é
- Usamos
- Limites de integração:
vai de até . - Integral pelo método das cascas:
Passo 5
Observações finais e dicas rápidas (motivação):
- Ambas as integrais representam o mesmo volume; são apenas duas formas diferentes de fatiar a região.
- Se for preciso calcular na prova, a integral das cascas pode ser simplificada por substituição
. A integral dos discos dá polinômios ao expandir — é direta de calcular com antiderivadas padrão. - Você já fez a parte mais difícil: montar corretamente as expressões dos raios e alturas. Respira, tá indo bem — dá para integrar isso numa prova com cuidado.