10. (6 pontos)

Esboce a região R delimitada por
y=1-x^{2}, \quad y=0 \quad \text { e } \quad x=0
e determine apenas as integrais que representam o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno da reta
y=-2,
utilizando o Método dos Discos e o Método das Cascas.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região R limitada por
y=1-x^{2},\qquad y=0,\qquad x=0
e, em seguida, determinar apenas as integrais que representam o volume do sólido obtido ao rodar R em torno da reta
y=-2,
usando o Método dos Discos (lavadora/anel) e o Método das Cascas.
Informações dadas e o que precisamos obter:
  • A curva superior é y=1-x^{2}.
  • A curva inferior é y=0.
  • A fronteira vertical é x=0.
  • Precisamos escrever duas integrais: uma pelo Método dos Discos (fatiamento perpendicular ao eixo de rotação) e outra pelo Método das Cascas (fatiamento paralelo ao eixo de rotação). Não é pedido calcular o valor numérico, apenas as integrais que representam o volume.

Passo 2

Entender a região R e seus limites (esboço mental/simples):
  • Interseção de y=1-x^{2} com y=0 1-x^{2}=0\Rightarrow x=\pm1.
  • A fronteira x=0 restringe à porção com x\ge0. Portanto, na região R temos 0\le x\le1.
  • Para um x fixo entre 0 e 1, y varia de y=0 até y=1-x^{2}.
  • Em termos de y, a região tem 0\le y\le1 e, para um dado y, x varia de x=0 até x=\sqrt{\,1-y\,} (usar a raiz positiva porque estamos com x\ge0).

Passo 3

Método dos Discos (lavadoras): ideia e aplicação passo a passo
  • Princípio: quando o eixo de rotação é horizontal, fatiamentos perpendiculares ao eixo são retângulos verticais em x= constante; ao girar cada retângulo em torno da reta horizontal gera-se uma lavadora (anel) cuja área é \pi\big(R(x)^{2}-r(x)^{2}\big). O volume é a integral dessa área ao longo de x.
  • Variáveis e o que representam:
    • \text{espessura} = dx.
    • \text{raio externo } R(x)= distância vertical do eixo y=-2 até a curva superior y=1-x^{2}.
    • \text{raio interno } r(x)= distância vertical do eixo y=-2 até a curva inferior y=0.
  • Calcular os raios:
    • \displaystyle R(x)=(1-x^{2})-(-2)=3-x^{2}.
    • \displaystyle r(x)=0-(-2)=2. (constante)
  • Limites de integração: x vai de 0 a 1.
  • Integral pelo método dos discos (lavadoras):
V_{\text{discos}}=\int_{0}^{1}\pi\Big[(3-x^{2})^{2}-2^{2}\Big]\,dx.

Passo 4

Método das Cascas: ideia e aplicação passo a passo
  • Princípio: quando o eixo de rotação é horizontal, fatiamentos paralelos ao eixo são fatias horizontais (em y= constante); ao girar uma fatia horizontal em torno da reta horizontal obtém-se uma casca cilíndrica. O volume de cada casca é 2\pi(\text{raio})(\text{altura})\,d(\text{espessura}).
  • Variáveis e o que representam:
    • Usamos y como variável da fatia; a espessura é dy.
    • \text{raio da casca} = distância vertical do nível y até o eixo y=-2, isto é \rho(y)=y-(-2)=y+2.
    • \text{altura da casca} = comprimento horizontal da interseção da região com a linha y= constante, isto é x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}=\sqrt{1-y}-0=\sqrt{1-y}.
  • Limites de integração: y vai de 0 até 1.
  • Integral pelo método das cascas:
V_{\text{cascas}}=\int_{0}^{1}2\pi\big(y+2\big)\sqrt{1-y}\,dy.

Passo 5

Observações finais e dicas rápidas (motivação):
  • Ambas as integrais representam o mesmo volume; são apenas duas formas diferentes de fatiar a região.
  • Se for preciso calcular na prova, a integral das cascas pode ser simplificada por substituição u=1-y. A integral dos discos dá polinômios ao expandir (3-x^{2})^{2} — é direta de calcular com antiderivadas padrão.
  • Você já fez a parte mais difícil: montar corretamente as expressões dos raios e alturas. Respira, tá indo bem — dá para integrar isso numa prova com cuidado.

Resposta

V_{\text{discos}}=\int_{0}^{1}\pi\Big[(3-x^{2})^{2}-2^{2}\Big]\,dx
V_{\text{cascas}}=\int_{0}^{1}2\pi\big(y+2\big)\sqrt{1-y}\,dy

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