Exercício 11'. (6 pontos)

Esboce a região R delimitada por
x=4-y^{2}, \quad x=0 \quad \text { e } \quad y=0
e determine apenas as integrais que representam o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno da reta
x=-1,
utilizando o Método dos Discos e o Método das Cascas.

Passo 1

O enunciado dá as curvas que limitam a região R:
  • x=4-y^{2},
  • x=0,
  • y=0.
A reta de rotação é x=-1.
Informações úteis extraídas das curvas:
  • Interseção entre x=4-y^{2} e x=0 obtém-se resolvendo 4-y^{2}=0, daí y=\pm 2. Como há também a condição y=0, a parte relevante da região tem y variando de 0 até 2.
  • Para cada y\in[0,2], os valores de x no interior da região vão de x=0 (lado esquerdo) até x=4-y^{2} (lado direito).
  • Em coordenadas x, o x mínimo da região é 0 e o x máximo é 4 (ocorre em y=0). Para cada x\in[0,4], o y superior da região é y=\sqrt{4-x} e o y inferior é y=0.
O que o enunciado pede:
  • Determinar apenas as integrais que representam o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta x=-1, usando (a) o Método dos Discos (ou Anéis/“washers”) e (b) o Método das Cascas.

Passo 2

Método dos Discos (washers). Ideia e escolha das cortes:
  • O eixo de rotação x=-1 é vertical. Para usar o método dos discos/anel, fazemos cortes perpendiculares ao eixo de rotação, ou seja, cortes horizontais (fatias de espessura ,dy). Cada fatia em y gera, ao girar, um anel (washer) cuja área é a diferença entre a área do círculo externo e a área do círculo interno.
Definição das quantidades:
  • Raio externo R_{\text{ext}}(y) = distância do eixo x=-1 até a borda mais afastada da região (a curva x=4-y^{2}). Logo,
R_{\text{ext}}(y) = (4-y^{2}) - (-1) = 5 - y^{2}.
  • Raio interno R_{\text{int}}(y) = distância do eixo x=-1 até a borda mais próxima da região (a reta x=0). Logo,
R_{\text{int}}(y) = 0 - (-1) = 1.
Fórmula da área do anel:
  • Área da secção transversal em altura y é \pi\big(R_{\text{ext}}(y)^{2} - R_{\text{int}}(y)^{2}\big).
Montagem da integral (limites em y):
  • Como y varia de 0 a 2, o volume pelo método dos discos é
V=\int_{0}^{2}\pi\Big((5-y^{2})^{2}-1^{2}\Big)\,dy.

Passo 3

Método das Cascas (shells). Ideia e escolha das cortes:
  • Para o método das cascas usamos cortes paralelos ao eixo de rotação, ou seja, fatias verticais (espessura ,dx). Cada fatia em abscissa x gira formando uma casca cilíndrica de raio igual à distância do ponto x até a reta x=-1 e altura igual à altura da região naquela x.
Definição das quantidades:
  • Raio da casca r(x) = distância do eixo x=-1 até a fatia em x:
r(x)=x-(-1)=x+1.
  • Altura da casca h(x) = extensão vertical da região em dado x. A região vai de y=0 até y=\sqrt{4-x}, portanto
h(x)=\sqrt{4-x}-0=\sqrt{4-x}.
Fórmula de volume por casca:
  • Volume de uma casca fina é aproximadamente 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\cdot(\text{espessura}). Integrando de x=0 a x=4 (os extremos em x da região) dá
V=\int_{0}^{4}2\pi\,(x+1)\,\sqrt{4-x}\,dx.

Passo 4

Resumo e observações finais:
  • As duas integrais acima representam o mesmo volume (uma vem de secções transversais em y, a outra de cascas em x). O enunciado pediu apenas montar as integrais, portanto não foi feita a avaliação numérica.
  • Se preferir, pode expandir ou simplificar a integral do método dos discos antes de calcular, ou fazer a substituição u=4-x na integral das cascas para facilitá-la na hora de calcular.

Resposta

Método dos Discos:
V=\int_{0}^{2}\pi\Big((5-y^{2})^{2}-1^{2}\Big)\,dy
Método das Cascas:
V=\int_{0}^{4}2\pi\,(x+1)\,\sqrt{4-x}\,dx

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