Exercício 11'. (6 pontos)
Esboce a região
delimitada por
e determine apenas as integrais que representam o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno da reta
utilizando o Método dos Discos e o Método das Cascas.
Passo 1
O enunciado dá as curvas que limitam a região
:
-
, -
, -
.
A reta de rotação é
.
Informações úteis extraídas das curvas:
- Interseção entre
e obtém-se resolvendo , daí . Como há também a condição , a parte relevante da região tem variando de até . - Para cada
, os valores de no interior da região vão de (lado esquerdo) até (lado direito). - Em coordenadas
, o mínimo da região é e o máximo é (ocorre em ). Para cada , o superior da região é e o inferior é .
O que o enunciado pede:
- Determinar apenas as integrais que representam o volume do sólido obtido ao girar
em torno da reta , usando (a) o Método dos Discos (ou Anéis/“washers”) e (b) o Método das Cascas.
Passo 2
Método dos Discos (washers). Ideia e escolha das cortes:
- O eixo de rotação
é vertical. Para usar o método dos discos/anel, fazemos cortes perpendiculares ao eixo de rotação, ou seja, cortes horizontais (fatias de espessura ,dy). Cada fatia em gera, ao girar, um anel (washer) cuja área é a diferença entre a área do círculo externo e a área do círculo interno.
Definição das quantidades:
- Raio externo
= distância do eixo até a borda mais afastada da região (a curva ). Logo,
- Raio interno
= distância do eixo até a borda mais próxima da região (a reta ). Logo,
Fórmula da área do anel:
- Área da secção transversal em altura
é .
Montagem da integral (limites em
):
- Como
varia de a , o volume pelo método dos discos é
Passo 3
Método das Cascas (shells). Ideia e escolha das cortes:
- Para o método das cascas usamos cortes paralelos ao eixo de rotação, ou seja, fatias verticais (espessura ,dx). Cada fatia em abscissa
gira formando uma casca cilíndrica de raio igual à distância do ponto até a reta e altura igual à altura da região naquela .
Definição das quantidades:
- Raio da casca
= distância do eixo até a fatia em :
- Altura da casca
= extensão vertical da região em dado . A região vai de até , portanto
Fórmula de volume por casca:
- Volume de uma casca fina é aproximadamente
. Integrando de a (os extremos em da região) dá
Passo 4
Resumo e observações finais:
- As duas integrais acima representam o mesmo volume (uma vem de secções transversais em
, a outra de cascas em ). O enunciado pediu apenas montar as integrais, portanto não foi feita a avaliação numérica. - Se preferir, pode expandir ou simplificar a integral do método dos discos antes de calcular, ou fazer a substituição
na integral das cascas para facilitá-la na hora de calcular.
Resposta
Método dos Discos:
Método das Cascas: