Questão 3. Calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e .
O objetivo final é obter um valor explícito (uma expressão em termos de logaritmos e números) para essa integral.
Passo 2
Escolha de método e mudança de variável conveniente.
Observação prática: aparece
no denominador e
. Uma mudança de variável que elimina a raiz é
. Vou fazer essa substituição porque transforma
em
e simplifica o integrando.
Fazendo
:
Mudar os limites: quando
temos
; quando
temos
.
Agora substituo tudo na integral:
Passo 3
Simplificação do integrando após a substituição.
Na expressão obtida:
porque o fator
no numerador e denominador se cancelam. Assim a integral fica muito mais simples:
Passo 4
Calcular
(fórmula e demonstração rápida).
Para integrar
usa-se integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são escolhidos convenientemente.
Escolho
(pois sua derivada simplifica) e
. Então
Aplicando a fórmula:
Portanto, a primitiva de
é
.
Passo 5
Avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada.
Voltando à nossa integral:
Agora calculo o valor no intervalo:
Multiplicando por
:
Somando os termos constantes
, obtemos:
Também é possível reescrever em forma compacta usando logaritmo único: