Questão 3. Calcule a integral
\int_{4}^{9} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{4}^{9} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}.
  • Os limites de integração são x=4 e x=9.
    O objetivo final é obter um valor explícito (uma expressão em termos de logaritmos e números) para essa integral.

Passo 2

Escolha de método e mudança de variável conveniente.
Observação prática: aparece \sqrt{x} no denominador e \ln x. Uma mudança de variável que elimina a raiz é x=t^{2}. Vou fazer essa substituição porque transforma \sqrt{x} em t e simplifica o integrando.
Fazendo x=t^{2}:
dx = 2t\,dt, \qquad \sqrt{x}=t, \qquad \ln x = \ln(t^{2}) = 2\ln t.
Mudar os limites: quando x=4 temos t=\sqrt{4}=2; quando x=9 temos t=\sqrt{9}=3.
Agora substituo tudo na integral:
\int_{4}^{9}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx = \int_{t=2}^{t=3}\frac{2\ln t}{t}\cdot(2t\,dt).

Passo 3

Simplificação do integrando após a substituição.
Na expressão obtida:
\frac{2\ln t}{t}\cdot(2t\,dt)=4\ln t\,dt,
porque o fator t no numerador e denominador se cancelam. Assim a integral fica muito mais simples:
\int_{4}^{9}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx = \int_{2}^{3}4\ln t\,dt = 4\int_{2}^{3}\ln t\,dt.

Passo 4

Calcular \displaystyle\int \ln t\,dt (fórmula e demonstração rápida).
Para integrar \ln t usa-se integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são escolhidos convenientemente.
Escolho u=\ln t (pois sua derivada simplifica) e dv = dt. Então
du = \frac{1}{t}\,dt, \qquad v = t.
Aplicando a fórmula:
\int \ln t\,dt = t\ln t - \int t\cdot\frac{1}{t}\,dt = t\ln t - \int 1\,dt = t\ln t - t + C.
Portanto, a primitiva de \ln t é t\ln t - t.

Passo 5

Avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada.
Voltando à nossa integral:
4\int_{2}^{3}\ln t\,dt = 4\big[\,t\ln t - t\,\big]_{2}^{3}.
Agora calculo o valor no intervalo:
\big[\,t\ln t - t\,\big]_{2}^{3} = \big(3\ln 3 - 3\big) - \big(2\ln 2 - 2\big) = 3\ln 3 -3 -2\ln 2 +2.
Multiplicando por 4:
4\big(3\ln 3 -3 -2\ln 2 +2\big) = 12\ln 3 -12 -8\ln 2 +8.
Somando os termos constantes -12+8=-4, obtemos:
12\ln 3 -8\ln 2 -4.
Também é possível reescrever em forma compacta usando logaritmo único:
12\ln 3 -8\ln 2 -4 = 4\big(3\ln 3 -2\ln 2 -1\big) = 4\ln\!\left(\frac{3^{3}}{2^{2}}\right)-4 = 4\ln\!\left(\frac{27}{4}\right)-4.

Resposta

12\ln 3 - 8\ln 2 - 4

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