Questão 1. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
Informações e identidades úteis que temos (essas são os dados que usaremos):
- A função tangente pode ser escrita como razão de seno por cosseno:
. - A derivada de
é . - A derivada de
em relação a é (para ).
O que se pede é provar a igualdade da primitiva da tangente com a função logarítmica do secante, inclusive tratando corretamente a constante de integração.
Passo 2
Reescreve a integranda usando
. Assim temos
Passo 3
Fazer uma substituição natural: seja
. Aqui
é uma nova variável que representa o cosseno de
. Diferenciando:
Isolando
obtemos
. Agora substituímos na integral:
Passo 4
Usar a primitiva conhecida de
: para
,
Portanto
Aqui explique rapidamente por que o valor absoluto: o logaritmo natural
exige argumento positivo, e como
pode ser negativo em alguns
, devemos escrever
.
Passo 5
Voltar à variável
substituindo
:
Agora usar a identidade
para ver que
Assim podemos escrever a primitiva como
Se o enunciado usa a constante
, apenas renomeamos
para
.
Passo 6
(Método alternativo curto, para reforçar a ideia) Observa que
. Logo
Assim
o que dá exatamente o mesmo resultado de forma mais direta.
Passo 7
Resumo didático: escrevemos
como
, fizemos a substituição
que transforma a integral numa integral de
, integramos para obter o logaritmo, e voltamos à variável original. Não esquecer do valor absoluto e da constante de integração — essas são pequenas armadilhas na prova, então marca elas na folha!