Questão 1. Mostre que
\int \operatorname{tg} x d x=\ln |\operatorname{sec} x|+k

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\int \operatorname{tg} x\, dx=\ln |\operatorname{sec} x|+k.
Informações e identidades úteis que temos (essas são os dados que usaremos):
  • A função tangente pode ser escrita como razão de seno por cosseno: \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}.
  • A derivada de \cos x é \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
  • A derivada de \ln|u| em relação a u é \dfrac{d}{du}\ln|u|=\dfrac{1}{u} (para u\neq0).
    O que se pede é provar a igualdade da primitiva da tangente com a função logarítmica do secante, inclusive tratando corretamente a constante de integração.

Passo 2

Reescreve a integranda usando \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Assim temos
\int \tan x\, dx=\int \dfrac{\sin x}{\cos x}\, dx.

Passo 3

Fazer uma substituição natural: seja \,u=\cos x. Aqui u é uma nova variável que representa o cosseno de x. Diferenciando:
du=\dfrac{d}{dx}(\cos x)\,dx=-\sin x\,dx.
Isolando \sin x\,dx obtemos \sin x\,dx=-du. Agora substituímos na integral:
\int \dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx=\int \dfrac{-du}{u}=-\int \dfrac{du}{u}.

Passo 4

Usar a primitiva conhecida de \dfrac{1}{u}: para u\neq0,
\int \dfrac{du}{u}=\ln|u|+C.
Portanto
-\int \dfrac{du}{u}=-\ln|u|+C.
Aqui explique rapidamente por que o valor absoluto: o logaritmo natural \ln exige argumento positivo, e como u=\cos x pode ser negativo em alguns x, devemos escrever \ln|u|.

Passo 5

Voltar à variável x substituindo u=\cos x:
-\ln|u|+C=-\ln|\cos x|+C.
Agora usar a identidade \ln\!\bigl(\tfrac{1}{|a|}\bigr)=-\ln|a| para ver que
-\ln|\cos x|=\ln\!\bigl(\tfrac{1}{|\cos x|}\bigr)=\ln|\operatorname{sec} x|.
Assim podemos escrever a primitiva como
\int \tan x\,dx=\ln|\operatorname{sec} x|+C.
Se o enunciado usa a constante k, apenas renomeamos C para k.

Passo 6

(Método alternativo curto, para reforçar a ideia) Observa que \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x. Logo
\tan x=\dfrac{\dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x}{\operatorname{sec} x}.
Assim
\int \tan x\,dx=\int \dfrac{\operatorname{sec}' x}{\operatorname{sec} x}\,dx=\ln|\operatorname{sec} x|+C,
o que dá exatamente o mesmo resultado de forma mais direta.

Passo 7

Resumo didático: escrevemos \tan x como \sin x/\cos x, fizemos a substituição u=\cos x que transforma a integral numa integral de 1/u, integramos para obter o logaritmo, e voltamos à variável original. Não esquecer do valor absoluto e da constante de integração — essas são pequenas armadilhas na prova, então marca elas na folha!

Resposta

\ln|\operatorname{sec} x|+k

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