Questão 2. Seja o conjunto A=\left\{(x, y) \in R^{2} / 10 \leq x \leq 37\right. e \left.0 \leq y \leq \sqrt{x-1}\right\}. Desenhe o conjunto A e calcule sua área.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 10\le x\le 37,\; 0\le y\le \sqrt{x-1}\}.
As perguntas são:
  • Desenhar o conjunto A.
  • Calcular a área de A.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As fronteiras em x são as retas verticais x=10 e x=37.
  • A fronteira inferior em y é o eixo y=0.
  • A fronteira superior em y é a curva y=\sqrt{x-1}.
  • Em particular, os pontos nas extremidades da curva são: \;y(10)=\sqrt{10-1}=\sqrt{9}=3 e \;y(37)=\sqrt{37-1}=\sqrt{36}=6.

Passo 2

Como o conjunto é descrito por uma desigualdade do tipo a\le x\le b e 0\le y\le g(x) (com g(x)=\sqrt{x-1}), a forma natural de calcular a área é usar “fatias verticais”: aproximamos a área por retângulos de largura \Delta x e altura g(x), somamos e passamos ao limite, o que leva a uma integral definida. Vou aplicar essa ideia direta: área =\displaystyle\int_{x=10}^{x=37} \big(\text{topo} - \text{fundo}\big)\,dx = \displaystyle\int_{10}^{37} \sqrt{x-1}\,dx.
Explicando de forma bem didática por que isso funciona:
  • A área sob uma curva y=g(x) e acima do eixo y=0, entre x=a e x=b, é o limite das somas de Riemann feitas com retângulos de base \Delta x e altura g(x_i).
  • Esse limite é exatamente a integral definida \int_a^b g(x)\,dx.
  • No nosso caso o “fundo” é y=0 e o “topo” é y=\sqrt{x-1}, então a área é \int_{10}^{37}\sqrt{x-1}\,dx.

Passo 3

Vamos escrever a integral que precisamos calcular:
\text{Área}(A)=\int_{10}^{37} \sqrt{x-1}\,dx=\int_{10}^{37} (x-1)^{1/2}\,dx.Á
Vou calcular essa integral passo a passo usando uma substituição simples, que facilita aplicar a regra da potência para integrais.

Passo 4

Fazer a substituição para simplificar a integral. Seja \;u=x-1. Então \;du=dx.
Troca dos limites:
  • quando x=10 temos \;u=10-1=9,
  • quando x=37 temos \;u=37-1=36.
Assim a integral fica
\int_{10}^{37} (x-1)^{1/2}\,dx = \int_{u=9}^{u=36} u^{1/2}\,du.
Lembrete da regra de integração usada (regra da potência):
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C,\qquad \text{para }n\neq -1.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então a primitiva é \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}.

Passo 5

Aplicando a primitiva e avaliando nos limites:
\int_{9}^{36} u^{1/2}\,du=\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{9}^{36}=\frac{2}{3}\big(36^{3/2}-9^{3/2}\big).
Agora calcular os termos numéricos:
36^{3/2}=\big(\sqrt{36}\big)^{3}=6^{3}=216,
9^{3/2}=\big(\sqrt{9}\big)^{3}=3^{3}=27.
Logo
\frac{2}{3}\big(36^{3/2}-9^{3/2}\big)=\frac{2}{3}(216-27)=\frac{2}{3}\cdot 189.

Passo 6

Calcular \dfrac{2}{3}\cdot 189:
189\div 3=63,\qquad 2\cdot 63=126.
Portanto a área é \;126.

Passo 7

Instruções simples para desenhar A (passo a passo, para fazer rápido numa prova):
  • Desenhar os eixos x e y.
  • Esboçar a curva y=\sqrt{x-1}: é a função raiz quadrada deslocada uma unidade para a direita. Começa em x=1 com y=0 e cresce lentamente, é côncava para baixo.
  • Marcar as retas verticais x=10 e x=37.
  • Calcular e marcar os pontos na curva nas abscissas dos limites: em x=10 o ponto é (10,3); em x=37 o ponto é (37,6).
  • Sombrear a região entre as retas x=10 e x=37, abaixo da curva y=\sqrt{x-1} e acima do eixo y=0. Esse sombreamento é exatamente o conjunto A.

Resposta

Desenho: região limitada pelas retas x=10 e x=37, pelo eixo y=0 e pela curva y=\sqrt{x-1}; na extremidade esquerda a curva vale y(10)=3 e na direita y(37)=6.
Área: 126

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