Questão 2. Seja o conjunto
e
. Desenhe o conjunto
e calcule sua área.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
As perguntas são:
- Desenhar o conjunto
. - Calcular a área de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- As fronteiras em
são as retas verticais e . - A fronteira inferior em
é o eixo . - A fronteira superior em
é a curva . - Em particular, os pontos nas extremidades da curva são:
e .
Passo 2
Como o conjunto é descrito por uma desigualdade do tipo
e
(com
), a forma natural de calcular a área é usar “fatias verticais”: aproximamos a área por retângulos de largura
e altura
, somamos e passamos ao limite, o que leva a uma integral definida. Vou aplicar essa ideia direta: área
.
Explicando de forma bem didática por que isso funciona:
- A área sob uma curva
e acima do eixo , entre e , é o limite das somas de Riemann feitas com retângulos de base e altura . - Esse limite é exatamente a integral definida
. - No nosso caso o “fundo” é
e o “topo” é , então a área é .
Passo 3
Vamos escrever a integral que precisamos calcular:
Vou calcular essa integral passo a passo usando uma substituição simples, que facilita aplicar a regra da potência para integrais.
Passo 4
Fazer a substituição para simplificar a integral. Seja
. Então
.
Troca dos limites:
Troca dos limites:
- quando
temos , - quando
temos .
Assim a integral fica
Lembrete da regra de integração usada (regra da potência):
Aqui
, então a primitiva é
.
Passo 5
Aplicando a primitiva e avaliando nos limites:
Agora calcular os termos numéricos:
Logo
Passo 6
Calcular
:
Portanto a área é
.
Passo 7
Instruções simples para desenhar
(passo a passo, para fazer rápido numa prova):
- Desenhar os eixos
e . - Esboçar a curva
: é a função raiz quadrada deslocada uma unidade para a direita. Começa em com e cresce lentamente, é côncava para baixo. - Marcar as retas verticais
e . - Calcular e marcar os pontos na curva nas abscissas dos limites: em
o ponto é ; em o ponto é . - Sombrear a região entre as retas
e , abaixo da curva e acima do eixo . Esse sombreamento é exatamente o conjunto .
Resposta
Desenho: região limitada pelas retas
e
, pelo eixo
e pela curva
; na extremidade esquerda a curva vale
e na direita
.
Área:
Área: