Questão 6 Calcule a integral
\int_{0}^{1}\left[t \vec{i}+e^{t} \vec{j}\right] d t

Passo 1

O enunciado pede a integral vetorial
\int_{0}^{1}\bigl[t\,\vec{i}+e^{t}\,\vec{j}\bigr]dt.
Para resolver, usamos que a integral de uma função vetorial
\vec{f}(t)=f_{1}(t)\,\vec{i}+f_{2}(t)\,\vec{j}
é feita componente a componente:
\int \vec{f}(t)\,dt = \Bigl(\!\int f_{1}(t)\,dt\Bigr)\vec{i} \;+\;\Bigl(\!\int f_{2}(t)\,dt\Bigr)\vec{j}.

Passo 2

Calcular a componente em \vec{i}:
\int_{0}^{1} t\,dt = \left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-0 = \frac{1}{2}.

Passo 3

Calcular a componente em \vec{j}:
\int_{0}^{1} e^{t}\,dt = \bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{1} = e^{1}-e^{0} = e-1.

Passo 4

Juntando as duas componentes, obtemos
\int_{0}^{1}\bigl[t\,\vec{i}+e^{t}\,\vec{j}\bigr]dt = \frac{1}{2}\,\vec{i} \;+\;(e-1)\,\vec{j}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\,\vec{i} \;+\;(e-1)\,\vec{j}

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