1ª Questão Resolva a equação diferencial, utilizando a transformada de Laplace.
y^{\prime}-5 y=0 \quad com y(\pi)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'(t) - 5\,y(t) = 0
utilizando transformada de Laplace, com condição inicial
y(\pi) = 2.
Para isso, vamos usar a propriedade da transformada de Laplace de derivadas
\mathcal{L}\{y'(t)\}(p) = p\,Y(p) - y(0)
e a tabela de transformadas, em particular
\mathcal{L}^{-1}\bigl\{1/(p-5)\bigr\}(t) = e^{5t}.

Passo 2

Aplicar transformada de Laplace em ambos os lados de
y'(t) - 5\,y(t) = 0
results em
\mathcal{L}\{y'(t)\}(p) - 5\,\mathcal{L}\{y(t)\}(p) = 0
ou seja
\bigl(p\,Y(p) - y(0)\bigr) \;-\; 5\,Y(p) = 0.

Passo 3

Isolar Y(p):
(p - 5)\,Y(p) = y(0) \quad\Longrightarrow\quad Y(p) = \frac{y(0)}{p - 5}.

Passo 4

Fazer a transformada inversa usando
\mathcal{L}^{-1}\{1/(p-5)\}(t) = e^{5t}. Assim,
y(t) = y(0)\,e^{5t}.

Passo 5

Impor a condição inicial em t=\pi:
y(\pi) = y(0)\,e^{5\pi} = 2 \quad\Longrightarrow\quad y(0) = 2\,e^{-5\pi}.
Substituindo em y(t), obtém-se
y(t) = 2\,e^{-5\pi}\,e^{5t} = 2\,e^{5\,(t-\pi)}.

Resposta

y(x) = 2\,e^{5\,(x - \pi)}.

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