\underline{2}^{\mathbf{a}} Questão Resolva a seguinte equação integral \int_{0}^{t} y(u) y(t-u) d u=16 \operatorname{sen}(4 t)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação integral de convolução
\int_{0}^{t}y(u)\,y(t-u)\,du \;=\;16\operatorname{sen}(4t)
O conteúdo aqui é reconhecimento de convolução e uso da transformada de Laplace, já que
\mathcal{L}\{\,(y*y)(t)\}(s)=Y(s)\cdot Y(s)=Y(s)^2.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, obtemos
\mathcal{L}\Bigl\{\int_{0}^{t}y(u)\,y(t-u)\,du\Bigr\}(s) =Y(s)^2
e
\mathcal{L}\{16\operatorname{sen}(4t)\}(s) =16\;\frac{4}{s^2+4^2} =\frac{64}{s^2+16}.
Logo,
Y(s)^2 \;=\;\frac{64}{s^2+16}.

Passo 3

Resolvendo para Y(s), temos
Y(s)=\pm\sqrt{\frac{64}{s^2+16}} =\pm\frac{8}{\sqrt{s^2+16}}.

Passo 4

Reconhecemos que a transformada de Laplace da função de Bessel de primeira espécie e ordem zero satisfaz
\mathcal{L}\{J_0(4t)\}(s) =\frac{1}{\sqrt{s^2+4^2}} =\frac{1}{\sqrt{s^2+16}}.
Portanto, invertendo a transformada,
y(t)=\pm8\,J_{0}(4t).

Resposta

A solução geral da equação é
y(t)=8\,J_{0}(4t) \quad\text{ou}\quad y(t)=-8\,J_{0}(4t).
Tipicamente, escolhe-se
y(t)=8\,J_{0}(4t).

Exercícios relacionados