Questão 8 - Calcule a integral das seguintes funções vetoriais:
\int_{0}^{\pi}(t \cos (t), t, t \operatorname{sen}(t)) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral do campo vetorial
\vec F(t) = \bigl(t\cos t,\;t,\;t\sin t\bigr)
no intervalo 0\le t\le\pi. Como é uma integral de função vetorial, vamos tratar cada componente separadamente. Para as componentes que envolvem produto de t por função trigonométrica usaremos integração por partes.

Passo 2

Calcular a primeira componente
\int_{0}^{\pi} t\cos t\,dt.
Use u=t, dv=\cos t\,dt de modo que du=dt e v=\sin t. Então
\int_{0}^{\pi} t\cos t\,dt = \bigl[t\sin t\bigr]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi}\sin t\,dt = \bigl(\pi\sin\pi - 0\cdot\sin0\bigr) - \bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{\pi} = 0 - \bigl(-\cos\pi + \cos0\bigr) = \cos\pi - \cos0 = -1 - 1 = -2.

Passo 3

Calcular a segunda componente
\int_{0}^{\pi} t\,dt = \biggl[\frac{t^{2}}{2}\biggr]_{0}^{\pi} = \frac{\pi^{2}}{2} - 0 = \frac{\pi^{2}}{2}.

Passo 4

Calcular a terceira componente
\int_{0}^{\pi} t\sin t\,dt.
Use u=t, dv=\sin t\,dt de modo que du=dt e v=-\cos t. Então
\int_{0}^{\pi} t\sin t\,dt = \bigl[-\,t\cos t\bigr]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi}(-\cos t)\,dt = \bigl(-\pi\cos\pi - 0\cdot\cos0\bigr) + \int_{0}^{\pi}\cos t\,dt = -\pi(-1) + \bigl[\sin t\bigr]_{0}^{\pi} = \pi + (0-0) = \pi.

Passo 5

Juntando os resultados das três componentes, a integral vetorial é
\int_{0}^{\pi}(t\cos t,\;t,\;t\sin t)\,dt = \bigl(-2,\;\tfrac{\pi^{2}}{2},\;\pi\bigr).

Resposta

(-2,\;\tfrac{\pi^{2}}{2},\;\pi)

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